【題目】設(shè)函數(shù) f(x)的最小值為0.

(1)a的值;

(2)若數(shù)列滿足a1=1,an+l=f(an)+2(nZ+),Sn=[a1]+[a2]+…+[an],[m]表示不超過(guò)實(shí)數(shù)m的最大整數(shù),求Sn.

【答案】(1) 當(dāng)a=1時(shí)f(x)取得最小值0. (2) Sn=2n-1

【解析】

(1)(x>0).

當(dāng)a≤0時(shí),>0,則f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,無(wú)最小值,不符合題意.

當(dāng)a>0時(shí),若0<x<a,<0;

x>a,則>0.

所以,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,a)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(a,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.

f(x)min=f(a)=ln a-a+1.

設(shè)g(a)=ln a-a+1(a>0)..

0<a<1,>0;

a>1,<0.

所以,函數(shù)g(a)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.

g(a)≤g(1)=0.

當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí),上式等號(hào)成立.

從而,當(dāng)a=1時(shí)f(x)取得最小值0.

(2)(1)

.

an+1=f(an)+2=lnan++1.

a1=1,a2=2.

從而,a3=ln2+.

因?yàn)?/span><ln2<1,所以,2<a3<3.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n≥3時(shí),2<an<3.

當(dāng)n=3時(shí),結(jié)論已成立.

假設(shè)n=k(k≥3)時(shí),2<ak<3.

當(dāng)n=k+1時(shí),有.

(1)

h(x)=f(x)+2=lnx++1

在區(qū)間(2,3)內(nèi)單調(diào)遞增.

所以,h(2)<h(ak)<h(3),

ln2>,ln3<2<h(ak)<32<ak+1<3,

即當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也成立.

由歸納假設(shè),知對(duì)一切整數(shù)n≥3,均有2<an<3.

于是,[a1]=1,[an]=2(n≥2).

Sn=[ a1]+[a2]+…+[an] =1+2(n-1)-2n-1.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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家庭類(lèi)型

貧窮

溫飽

小康

富裕

最富裕

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A. B.

C. D.

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