Question

【題目】已知矩形中，，，沿對(duì)角線將折起至，使得二面角為，連結(jié)。

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

（1）推導(dǎo)出，從而，進(jìn)而，

，折起后，即為，則仍有，，則即為二面角的平面角，即，連接，推導(dǎo)出平面，，從而平面，由此能證明平面平面。

（2）推導(dǎo)出，從而平面，即為二面角的平面角，推導(dǎo)出平面，，由此能求出二面角的余弦值。

（1）在矩形中，取中點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)。

則，與中，，

，

，即。

，。

折起后，即為，則仍有，，則即為二面角的平面角，即，連接。

所以在中，，即，即.

由前所證，，，，

平面，，而，平面，

平面平面。

（2）由（1）可得，且，為中點(diǎn)，則為直角三角形，

.

又，

平面，

即為二面角的平面角。

由（1），平面平面，

，

平面，

，

而，

，即二面角的余弦值為。