Question

【題目】心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)視覺和空間能力與性別有關(guān)，某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗(yàn)證這個結(jié)論，從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)（男30女20），給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題，讓各位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答．選題情況如右表：（單位：人）

	幾何題	代數(shù)題	總計(jì)
男同學(xué)	22	8	30
女同學(xué)	8	12	20
總計(jì)	30	20	50

（1）能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認(rèn)為視覺和空間能力與性別有關(guān)？
（2）經(jīng)過多次測試后，甲每次解答一道幾何題所用的時間在5～7分鐘，乙每次解答一道幾何題所用的時間在6～8分鐘，現(xiàn)甲、乙各解同一道幾何題，求乙比甲先解答完的概率．
（3）現(xiàn)從選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人對她們的答題情況進(jìn)行全程研究，記甲、乙兩女生被抽到的人數(shù)為 X，求 X的分布列及數(shù)學(xué)期望 EX． 附表及公式

P（k2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

K2= ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由表中數(shù)據(jù)得K2的觀測值 ，

所以根據(jù)統(tǒng)計(jì)有97.5%的把握認(rèn)為視覺和空間能力與性別有關(guān)；

（2）解：設(shè)甲、乙解答一道幾何題的時間分別為x、y分鐘，則基本事件滿足的區(qū)域?yàn)? （如圖所示）

設(shè)事件A為“乙比甲先做完此道題”則滿足的區(qū)域?yàn)閤＞y，

∴由幾何概型 即乙比甲先解答完的概率為 ；

（3）解：由題可知在選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人，抽取方法有 種，其中甲、乙兩人沒有一個人被抽到有 種；恰有一人被抽到有 種；兩人都被抽到有 種，

∴X可能取值為0，1，2， ， ，

X的分布列為：

X	0	1	2
P

∴ ．

【解析】（1）根據(jù)所給的列聯(lián)表得到求觀測值所用的數(shù)據(jù)，把數(shù)據(jù)代入觀測值公式中，做出觀測值，同所給的臨界值表進(jìn)行比較，得到所求的值所處的位置，得到結(jié)論；（2）利用面積比，求出乙比甲先解答完的概率；（3）確定X的可能值有0，1，2．依次求出相應(yīng)的概率求分布列，再求期望即可．