Question

【題目】已知函數(shù)，．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：在上為增函數(shù)；

（Ⅲ）若在區(qū)間上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明如下；（Ⅲ）；

【解析】

試題（Ⅰ）由題可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程，則滿(mǎn)足，通過(guò)點(diǎn)斜式直線(xiàn)方程，，可求出直線(xiàn)方程；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)，令，通過(guò)對(duì)求導(dǎo)，得到的單調(diào)性為在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，于是函數(shù)在時(shí)取得最小值，因此，故函數(shù)在上為增函數(shù)．（Ⅲ）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，．

令，．對(duì)進(jìn)行討論，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)，將端點(diǎn)值代入，得到一正一負(fù)，即存在為函數(shù)在區(qū)間上唯一的極小值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)，將端點(diǎn)值代入，得到，因此函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，總有成立，即成立，故函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在區(qū)間上無(wú)極值．

試題解析：解：函數(shù)定義域?yàn)?/span>，．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，．

所以．

所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是，

即．

（Ⅱ） 當(dāng)時(shí)，．

設(shè)，則．

令得，或，注意到，所以．

令得，注意到，得．

所以函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．

所以函數(shù)在時(shí)取得最小值，且．

所以在上恒大于零．

于是，當(dāng)，恒成立．

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)．

（Ⅱ）問(wèn)另一方法提示：當(dāng)時(shí)，．

由于在上成立，即可證明函數(shù)在上為增函數(shù)．

（Ⅲ）（Ⅱ）．

設(shè)，．

（1）當(dāng)時(shí)，在上恒成立，

即函數(shù)在上為增函數(shù)．

而，，則函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，使,且在上，，在上，，故為函數(shù)在區(qū)間上唯一的極小值點(diǎn);

（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，成立，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，又此時(shí)，所以函數(shù)在區(qū)間恒成立，即，

故函數(shù)在區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在區(qū)間上無(wú)極值；

（3）當(dāng)時(shí)，．

當(dāng)時(shí)，總有成立，即成立，故函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在區(qū)間上無(wú)極值．

綜上所述．