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已知定義域為R的函數f(x)=是奇函數.

(1)求ab的值;

(2)若對任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2k)<0恒成立,求k的取值范圍.

(1)a=2,b=1 (2)k<-

解析 (1)∵f(x)是奇函數,

f(0)=0,即=0⇒b=1.

f(x)=.

又由f(1)=-f(-1)知=-a=2.

(2)由(1)知f(x)=,易知f(x)在(-∞,+∞)上為減函數.又因f(x)是奇函數,從而不等式:f(t2-2t)+f(2t2k)<0等價于f(t2-2t)<-f(2t2k)=f(k-2t2).

f(x)為減函數,由上式推得t2-2t>k-2t2.

即對一切t∈R有3t2-2tk>0.

從而判別式Δ=4+12k<0⇒k<-.

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-2x+a2x+1
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(3)若對任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求實數k的取值范圍;
(4)設關于x的函數F(x)=f(4x-b)+f(-2x+1)有零點,求實數b的取值范圍.

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