【題目】如圖,四棱錐中,底面是菱形,.
(1)證明:平面平面;
(2)若,,,求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】
(1)通過菱形的性質(zhì)證得,通過等腰三角形的性質(zhì)證得,由此證得平面,從而證得平面平面.
(2)方法一通過幾何法作出二面角的平面角,解三角形求得二面角的余弦值.方法而通過建立空間直角坐標系,利用平面和平面的法向量,計算出二面角的余弦值.
(1)證明:記,連接.
因為底面是菱形,
所以,是的中點.
因為,所以.
因為,
所以平面.
因為平面,所以平面平面.
(2)因為底面是菱形,,,
所以是等邊三角形,即.
因為,所以.
又,,所以,
即.
方法一:因為是的中點,所以,
因為,所以,
所以和都是等腰三角形.
取中點,連接,則,且,
所以是二面角的平面角.
因為,且,
所以.
因為,
,
所以.
所以二面角的余弦值為.
方法二:如圖,以為坐標原點,所在直線分別為軸,軸,軸,建立空間直角坐標系,
則,,,,
所以,,.
設(shè)平面的法向量為
由,得,
令,得.
同理,可求平面的法向量.
所以
.
所以,二面角的余弦值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(數(shù)學(xué)文卷·2017屆重慶十一中高三12月月考第16題) 現(xiàn)介紹祖暅原理求球體體積公式的做法:可構(gòu)造一個底面半徑和高都與球半徑相等的圓柱,然后在圓柱內(nèi)挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點,圓柱上底面為底面的圓錐,用這樣一個幾何體與半球應(yīng)用祖暅原理(圖1),即可求得球的體積公式.請研究和理解球的體積公式求法的基礎(chǔ)上,解答以下問題:已知橢圓的標準方程為 ,將此橢圓繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后,得一橄欖狀的幾何體(圖2),其體積等于______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】軍訓(xùn)時,甲、乙兩名同學(xué)進行射擊比賽,共比賽10場,每場比賽各射擊四次,且用每場擊中環(huán)數(shù)之和作為該場比賽的成績.?dāng)?shù)學(xué)老師將甲、乙兩名同學(xué)的10場比賽成績繪成如圖所示的莖葉圖,并給出下列4個結(jié)論:(1)甲的平均成績比乙的平均成績高;(2)甲的成績的極差是29;(3)乙的成績的眾數(shù)是21;(4)乙的成績的中位數(shù)是18.則這4個結(jié)論中,正確結(jié)論的個數(shù)為( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
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【題目】隨著西部大開發(fā)的深入,西南地區(qū)的大學(xué)越來越受到廣大考生的青睞,下表是西南地區(qū)某大學(xué)近五年的錄取平均分高于省一本線分值對比表:
年份 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
年份代碼 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
錄取平均分高于省一本線分值 | 28 | 34 | 41 | 47 | 50 |
(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)可知,與之間存在線性相關(guān)關(guān)系,求關(guān)于的線性回歸方程;
(2)假設(shè)2020年該省一本線為520分,利用(1)中求出的回歸方程預(yù)測2020年該大學(xué)錄取平均分.
參考公式:,
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【題目】從10種不同的作物種子中選出6種分別放入6個不同的瓶子中,每瓶不空,如果甲、乙兩種種子都不許放入第一號瓶子內(nèi),那么不同的放法共有( )
A.種B.種C.種D.種
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【題目】已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù)),.
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的極小值;
(2)若當(dāng)時,關(guān)于的方程有且只有一個實數(shù)解,求的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)有零點,求的取值范圍.
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【題目】已知圓:內(nèi)一點,點為圓上任意一點,線段的垂直平分線與線段連線交于點.
(1)求點的軌跡方程;
(2)設(shè)點的軌跡為曲線,過點的直線與曲線交于不同的兩點、,求的內(nèi)切圓半徑的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠有甲,乙兩個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,,甲車間有工人人,乙車間有工人人,為比較兩個車間工人的生產(chǎn)效率,采用分層抽樣的方法抽取工人,甲車間抽取的工人記作第一組,乙車間抽取的工人記作第二組,并對他們中每位工人生產(chǎn)完成的一件產(chǎn)品的事件(單位:)進行統(tǒng)計,按照進行分組,得到下列統(tǒng)計圖.
分別估算兩個車間工人中,生產(chǎn)一件產(chǎn)品時間少于的人數(shù)
分別估計兩個車間工人生產(chǎn)一件產(chǎn)品時間的平均值,并推測車哪個車間工人的生產(chǎn)效率更高?
從第一組生產(chǎn)時間少于的工人中隨機抽取人,記抽取的生產(chǎn)時間少于的工人人數(shù)為隨機變量,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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