【題目】如圖,在三棱臺(tái)ABO﹣A1B1O1中,側(cè)面AOO1A1與側(cè)面OBB1O1是全等的直角梯形,且OO1⊥OB,OO1⊥OA,平面AOO1A1⊥平面OBB1O1 , OB=3,O1B1=1,OO1=

(1)證明:AB1⊥BO1;
(2)求直線AO1與平面AOB1所成的角的正切值;
(3)求二面角O﹣AB1﹣O1的余弦值.

【答案】
(1)證明:由題設(shè)知OA⊥OO1,且平面AOO1A1⊥平面OBB1O1,

平面AOO1A1∩平面OBB1O1=OO1,

則OA⊥平面OBB1O1,所以O(shè)A⊥OB,OA⊥BO1,

又因?yàn)? .O1B1=1,OB=3,

所以∠OO1B=60°,∠O1OB1=30°,

從而OB1⊥BO1,又因?yàn)镺A⊥BO1,OB1∩OA=O,

故BO1⊥平面AOB1,又AB1平面AOB1,故AB1⊥BO1


(2)解:以O(shè)為原點(diǎn),OA、OB、OO1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖,則A(3,0,0),B(0,3,0),B1(0,1, ),O1(0,0, ).

由(1)知BO1⊥平面OA B1,從而 是平面OA B1的一個(gè)法向量.

設(shè)直線AO1與平面AOB1所成的角為α,

.cosα= = ,

tanα= =

∴直線AO1與平面AOB1所成的角的正切值為


(3)解:由(II)知 是平面OA B1的一個(gè)法向量.且 ,

設(shè) 是平面O1A B1的一個(gè)法向量,

,得

設(shè)二面角O﹣AB1﹣O1的大小為,

則cosθ=cos<, >=

即二面角O﹣AB1﹣O1的余弦值是


【解析】(1)推導(dǎo)出OA⊥OB,OA⊥BO1 , OB1⊥BO1 , OA⊥BO1 , 從而BO1⊥平面AOB1 , 由此能證明AB1⊥BO1 . (2)以O(shè)為原點(diǎn),OA、OB、OO1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出直線AO1與平面AOB1所成的角的正切值.(3)求出平面OA B1的一個(gè)法向量和平面O1A B1的一個(gè)法向量,利用向量法能求出二面角O﹣AB1﹣O1的余弦值.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點(diǎn),所成的角為,則才能正確解答此題.

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競(jìng)選.

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