【題目】已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)都大于1,且a1=2,a ﹣an+1﹣a +1=0(n∈N*).
(1)求證: ≤an<an+1≤n+2;
(2)求證: + + +…+ <1.
【答案】
(1)證明:∵an>1,
由 ,
得 ,即an+1>an,
∵ ,
∴an+1=(an+1﹣an)+(an﹣an﹣1)+…+(a2﹣a1)+a1≤n+2,
,
∴
(2)證明:由 ,
∴
,
∴ ,
即 ,
,
∴ <1
【解析】(1)由an>1,結(jié)合 ,可得an+1>an;作差放縮可得an+1﹣an<1,利用迭代法證得an+1≤n+2;最后再由作差放縮得到 ,進(jìn)一步得到 ;(2)由 ,得 ,可得 ,然后利用裂項(xiàng)相消法證得答案.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系;如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示,那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-5:不等式選講
已知函數(shù),.
(1)當(dāng)時(shí),解關(guān)于的不等式;
(2)若對(duì)任意,都存在,使得不等式成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知有一個(gè)三邊長(zhǎng)分別為3,4,5的三角形.求下面兩只螞蟻與三角形三頂點(diǎn)的距離均超過(guò)1的概率.(1)一只螞蟻在三角形的邊上爬行(2)一只螞蟻在三角形所在區(qū)域內(nèi)部爬行
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知a,b,c,使等式N+都成立,
(1)猜測(cè)a,b,c的值;(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知f(x)=x2﹣a|x﹣1|+b(a>0,b>﹣1)
(1)若b=0,a>2,求f(x)在區(qū)間[0,2]內(nèi)的最小值m(a);
(2)若f(x)在區(qū)間[0,2]內(nèi)不同的零點(diǎn)恰有兩個(gè),且落在區(qū)間[0,1),(1,2]內(nèi)各一個(gè),求a﹣b的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義函數(shù)F(a,b)= (a+b﹣|a﹣b|)(a,b∈R),設(shè)函數(shù)f(x)=﹣x2+2x+4,g(x)=x+2(x∈R)函數(shù)F(f(x),g(x))的最大值與零點(diǎn)之和為( )
A.4
B.6
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱臺(tái)ABO﹣A1B1O1中,側(cè)面AOO1A1與側(cè)面OBB1O1是全等的直角梯形,且OO1⊥OB,OO1⊥OA,平面AOO1A1⊥平面OBB1O1 , OB=3,O1B1=1,OO1= .
(1)證明:AB1⊥BO1;
(2)求直線AO1與平面AOB1所成的角的正切值;
(3)求二面角O﹣AB1﹣O1的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱臺(tái)ABO﹣A1B1O1中,側(cè)面AOO1A1與側(cè)面OBB1O1是全等的直角梯形,且OO1⊥OB,OO1⊥OA,平面AOO1A1⊥平面OBB1O1 , OB=3,O1B1=1,OO1= .
(1)證明:AB1⊥BO1;
(2)求直線AO1與平面AOB1所成的角的正切值;
(3)求二面角O﹣AB1﹣O1的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=e|lnx|(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).若x1≠x2且f(x1)=f(x2),則下列結(jié)論一定不成立的是( )
A.x2f(x1)>1
B.x2f(x1)=1
C.x2f(x1)<1
D.x2f(x1)<x1f(x2)
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