【題目】在平行四邊形ABCD中,AB=1,AD,且∠BAD=45°,以BD為折線,把△ABD折起,使AB⊥DC,連接AC,得到三棱錐A﹣BCD.
(1)求證:平面ABD⊥平面BCD;
(2)求二面角B﹣AC﹣D的大小.
【答案】(1)證明見解析;(2)60°.
【解析】
(1)通過證明AB⊥平面BCD,得面面垂直;
(2)取BC中點E,過點E作EF⊥AC交AC于點F,連接DE,DF,EF,證明∠DFE為所求二面角,即可計算求解.
(1)證明:∵AB=1,AD,且∠BAD=45°,
∴BD=1,則AD2=AB2+BD2,即AB⊥BD,
又AB⊥DC,BD∩DC=D,且都在平面BCD內,
∴AB⊥平面BCD,
∵AB在平面ABD內,
∴平面ABD⊥平面BCD;
(2)取BC中點E,過點E作EF⊥AC交AC于點F,連接DE,DF,EF,
∵BD=CD=1,
∴DE⊥BC,
∵AB⊥平面BCD,DE平面BCD,
∴AB⊥DE,
∵AB∩BC=B,且都在平面ABC內,
∴DE⊥平面ABC,
∵AC平面ABC,
∴AC⊥DE,
又EF⊥AC,DE∩EF=E,且都在平面DEF內,
∴AC⊥平面DEF,
∴∠DFE為所求二面角,
在Rt△DEF中,∠DEF=90°,,,
∴,
∴∠DFE=60°,即二面角B﹣AC﹣D的大小為60°.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系xOy中,曲線C1的普通方程為,曲線C2參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標原點O為極點,以x軸正半軸為極軸,建立極坐標系,直線l的極坐標方程為.
(1)求C1的參數(shù)方程和的直角坐標方程;
(2)已知P是C2上參數(shù)對應的點,Q為C1上的點,求PQ中點M到直線的距離取得最大值時,點Q的直角坐標.
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【題目】已知函數(shù) .
(1)若,試判斷函數(shù)的零點個數(shù);
(2)若函數(shù)在上為增函數(shù),求整數(shù)的最大值.
(可能要用到的數(shù)據: , , )
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【題目】已知函數(shù),,(其中是自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)若,求函數(shù)在上的最大值.
(2)若,關于x的方程有且僅有一個根,求實數(shù)k的取值范圍.
(3)若對任意的、,,不等式都成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】數(shù)學家歐拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上,且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半,這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線.已知△ABC的頂點A(2,0),B(0,4),且AC=BC,則△ABC的歐拉線的方程為( )
A.x+2y+3=0B.2x+y+3=0C.x﹣2y+3=0D.2x﹣y+3=0
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【題目】在菱形中,,為線段的中點(如圖1).將沿折起到的位置,使得平面平面,為線段的中點(如圖2).
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求證:平面;
(Ⅲ)當四棱錐的體積為時,求的值.
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【題目】矩形ABCD中,,沿對角線AC將三角形ADC折起,得到四面體,四面體 外接球表面積為,當四面體的體積取最大值時,四面體的表面積為( )
A.B.C.D.
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【題目】在平面直角坐標系中,曲線過點,其參數(shù)方程為(為參數(shù),).以為極點,軸非負半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程;
(2)已知曲線與曲線交于兩點,且,求實數(shù)的值.
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