Question

點(diǎn)M在橢圓（a＞b＞0）上，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的右焦點(diǎn)F．
（I）若圓M與y軸相交于A、B兩點(diǎn)，且△ABM是邊長(zhǎng)為2的正三角形，求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)F（1，0），設(shè)過點(diǎn)F的直線l交橢圓于C、D兩點(diǎn)，若直線l繞點(diǎn)F任意轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，恒有|OC|²+|OD|²＜|CD|²成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)正三角形的性質(zhì)可求得圓的半徑，及M到y(tǒng)軸的距離，進(jìn)而根據(jù)圓M與x軸相切求得，．求得a和b的關(guān)系式，進(jìn)而根據(jù)c=求得a和b，則橢圓的方程可得．
（II）先看當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，把x=1代入橢圓方程求得y_A的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)|OC|²+|OD|²＜|CD|²恒成立求得a的范圍；再看l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）及直線方程，把直線方程代入橢圓方程消去y，根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表達(dá)式，根據(jù)|OC|²+|OD|²＜|CD|²恒成立，看當(dāng)當(dāng)a²-a²b²+b²＞0對(duì)k∈R不是恒成立的．當(dāng)，恒成立．當(dāng)a²-a²b²+b²＜0時(shí)恒成立，進(jìn)而推斷出a²＜（a²-1）b²=b⁴，求得a的范圍．最后綜合可得答案．
解答：解：（I）∵△ABM是邊長(zhǎng)為2的正三角形，∴圓的半徑r=2，
∴M到y(tǒng)軸的距離
又圓M與x軸相切，∴當(dāng)x=c時(shí)，得，∴．
∴∵a²-b²=c²，
∴a²-3=2a，解得a=3或a=-1（舍去），則b²=2a=6．
故所求橢圓方程為．
（II）①當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，把x=1代入，得．
∵恒有|OC|²+|OD|²＜|CD|²，∴．
解得或（舍去），即．
②當(dāng)l不垂直x軸時(shí)，設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
直線AB的方程為
得（b²+a²k²）x²-2a²k²x+a²k²-a²b²=0，
則
∵恒有|OC|²+|OD|²＜|CD|²，∴x₁²+y₁²+x₂²+y₂²＜（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²，|OC|²+|OD|²＜|CD|²恒成立，得x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²（x₁-1）=（1+k²）x₁x₂-k²（x₁+x₂）+k²=，
由題意得，（a²-a²b²+b²）k²-a²b²＜0對(duì)k∈R恒成立．
當(dāng)a²-a²b²+b²＞0對(duì)k∈R不是恒成立的．
當(dāng)，恒成立．
當(dāng)a²-a²b²+b²＜0時(shí)恒成立，∴a²＜a²b-b²，即a²＜（a²-1）b²=b⁴，
∵a＞0，b＞0，
∴a＜b²，即a＜a²-1，
∴a²-a-1＞0，解得或，即．
綜上，a的取值范圍是
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線的綜合問題是支撐圓錐曲線知識(shí)體系的重點(diǎn)內(nèi)容，平時(shí)應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練．