(09年臨沂一模理)(12分)
已知點M在橢圓(a>b>0)上,以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的右焦點F。
(1)若圓M與y軸相交于A、B兩點,且△ABM是邊長為2的正三角形,求橢圓的方程;
(2)若點F(1,0),設(shè)過點F的直線l交橢圓于C、D兩點,若直線l繞點F任意轉(zhuǎn)動時恒有|OC|2+|OD|2<|CD|2,求a的取值范圍。
解析:(I)∵△ABM是邊長為2的正三角形,∴圓M的半徑r=2,┉┉┉┉┉┉1分
∴M到y(tǒng)軸的距離d=┉┉┉┉┉┉┉┉2分
又圓M與x軸相切,∴當(dāng)x=c時,得y=,r=┉┉┉┉┉┉┉┉3分
∴=2,c=┉┉┉┉┉┉┉┉4分
∵解得a=3或a=-1(舍去),則b2=2a=6. ┉┉5分
故所求的橢圓方程為.┉┉┉┉┉┉┉┉6分
(2)設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2)。
①當(dāng)直線CD與x軸重合時,有
∵c=1, ∴a2=b2+c2>1,
恒有┉┉┉┉┉┉┉┉7分
②當(dāng)直線CD不與x軸重合時,設(shè)直線CD的方程為x=my+1,代入
整理得┉┉┉┉┉┉┉┉8分
∴
∵恒有,∴恒為鈍角,
則=x1x2+y1y2<0恒成立┉┉┉┉┉┉┉┉9分
∴x1x2+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1=+1
┉┉┉┉┉┉┉┉10分
又>0
∴<0對mR恒成立,
即對mR恒成立。
當(dāng)mR時,的最小值為0,∴<0. ┉┉┉┉┉┉┉┉11分
∴,即
∴a>0,b>0, ∴a<b2,即a<a2-1, ∴a2-a-1>0.
解得或,即。
由①②可知,a的取值范圍是(,+∞) ┉┉┉┉┉┉┉┉12分
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(09年臨沂一模理)(14分)
設(shè)函數(shù)f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.
(1)當(dāng)a=0時,f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)當(dāng)m=2時,若函數(shù)k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有兩個不同零點,求實數(shù) a的取值范圍;
(3)是否存在實數(shù)m,使函數(shù)f(x)和函數(shù)h(x)在公共定義域上具有相同的單調(diào)性?若存在,求出m的值,若不存在,說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(09年臨沂一模理)(12分)
如圖,在直棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=AA1,∠ACB=90º,G為BB1的中點。
(1)求證:平面A1CG⊥平面A1GC1;
(2)求平面ABC與平面A1GC所成銳二面角的平面角的余弦值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(09年臨沂一模理)(12分)
甲、乙兩人進行射擊訓(xùn)練,命中率分別為與P,且乙射擊2次均未命中的概率為,
(I)求乙射擊的命中率;
(II)若甲射擊2次,乙射擊1次,兩人共命中的次數(shù)記為ξ,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(09年臨沂一模理)(12分)
已知向量m=(,1),n=(,)。
(I) 若m•n=1,求的值;
(II) 記f(x)=m•n,在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且滿足
(2a-c)cosB=bcosC,求函數(shù)f(A)的取值范圍。
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