【題目】是遞增數(shù)列,數(shù)列滿足:對(duì)任意,存在,使得,則稱的“分隔數(shù)列”.

(1)設(shè),證明:數(shù)列的分隔數(shù)列;

(2)設(shè)的前n項(xiàng)和,,判斷數(shù)列是否是數(shù)列的分隔數(shù)列,并說(shuō)明理由;

(3)設(shè)的前n項(xiàng)和,若數(shù)列的分隔數(shù)列,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)數(shù)列不是數(shù)列的分隔數(shù)列;(3).

【解析】

(1)由新定義,可得2nm+1<2n+2,求得m=2n,即可得證;

(2)運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式,結(jié)合新定義,即可判斷;

(3)討論a>0,q>1或a<0,0<q<1,結(jié)合新定義,加以恒成立思想,解不等式即可得到所求范圍.

(1)∵{cn}是遞增數(shù)列,數(shù)列{an}滿足:對(duì)任意n∈N*,存在m∈N*,使得,

∴cnamcn+1

∵cn=2n,amm+1,

∴2nm+1<2n+2,

∴2n﹣1<m≤2n+1,

m=2n,

∴對(duì)任意n∈N*,存在m=2n∈N*,使得,則稱{an}是{cn}的“分隔數(shù)列;

(2)cnn﹣4,Sn是{cn}的前n項(xiàng)和,dnc3n﹣2,

dn=(3n﹣2)﹣4=3n﹣6,

d1=﹣3,

Snnn﹣7),

若數(shù)列{Sn}是數(shù)列{dn}的分隔數(shù)列,

∴3n﹣6≤mm﹣7)<3n﹣3,

即6(n﹣2)≤mm﹣7)<6(n﹣1),

由于n=4時(shí),12≤mm﹣7)<18,

不存在自然數(shù)m,使得不等式成立,

∴數(shù)列{Sn}不是數(shù)列{dn}的分隔數(shù)列;

(3)設(shè),Tn是{cn}的前n項(xiàng)和,

∵數(shù)列{Tn}是{cn}的分隔數(shù)列,

則{cn}為遞增,

當(dāng)a>0時(shí),q>1,

aqn﹣1aqn,

即有qm﹣1<qnq﹣1),且qm﹣1≥qn﹣1q﹣1),

當(dāng)1<q<2時(shí),數(shù)列最小項(xiàng)可以得到m不存在;

q>2時(shí),由mn,qm﹣1≥qn﹣1q﹣1)成立;

qn﹣1<qnq﹣1)成立,可得n=2時(shí),q2﹣1<q2q﹣1),

解得q>2,對(duì)n>3也成立;

當(dāng)a<0時(shí),0<q<1時(shí),

aqn﹣1aqn,

即有1﹣qmqn(1﹣q),且1﹣qmqn﹣1(1﹣q),

mn+1,可得1﹣qmqn(1﹣q)成立,

1﹣qn+1qn﹣1(1﹣q)成立,可得q=0恒成立,

a<0,0<q<1不成立,

綜上可得,a>0,q>2.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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年齡(歲)

頻數(shù)

贊成人數(shù)

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