Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，過(guò)左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為，過(guò)點(diǎn)與垂直的直線為，求證：與的交點(diǎn)在定直線上，并求出該定直線的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析，，

【解析】

（Ⅰ）設(shè)，，根據(jù)點(diǎn)，都在橢圓上，代入橢圓方程兩式相減，根據(jù)“設(shè)而不求”的思想，結(jié)合離心率以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式、直線的斜率建立等式即可求解.

（Ⅱ）設(shè)，由對(duì)稱(chēng)性，設(shè)，由，得橢圓上半部分的方程為，從而求出直線的方程，再由過(guò)點(diǎn)與垂直的直線為，求出，兩方程聯(lián)立，消去，即可求解.

（Ⅰ）由題可知，直線的斜率存在.

設(shè)，，由于點(diǎn)，都在橢圓上，

所以①，②，

①-②，化簡(jiǎn)得③

又因?yàn)殡x心率為，所以.

又因?yàn)橹本€過(guò)焦點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，

所以，，，

代入③式，得，解得.

再結(jié)合，解得，，

故所求橢圓的方程為.

（Ⅱ）證明：設(shè)，由對(duì)稱(chēng)性，設(shè)，由，得橢圓上半部分的方程為，，

又過(guò)點(diǎn)且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，

所以：，④

因?yàn)?/span>過(guò)點(diǎn)且與垂直，所以：，⑤

聯(lián)立④⑤，消去，得，

又，所以，從而可得，

所以與的交點(diǎn)在定直線上.