Question

【題目】已知函數(shù)

（1）當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；

（2）當(dāng)時，判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（3）當(dāng)且時，不等式在上恒成立，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的單調(diào)遞增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是；（3）3.

【解析】

（1）求出及后可得切線方程．

（2），故，討論上的符號可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

（3）在上恒成立等價于在上恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的極小值點 且，利用可化簡，從而可得整數(shù)的最大值．

（1）當(dāng)時，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),則切線的斜率，

而，所以直線的切線方程為,即．

（2）依題意可得．

所以.故，

列表討論如下：

	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．

(3)當(dāng)時，．

∵，∴原不等式可化為，即對任意恒成立．

令，則，

令，則，

∴在上單調(diào)遞增．

∵，，

∴ 存在使即，

當(dāng)時，，即；

當(dāng)時，，即．

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

由，得，

，

∴，∵，∴.