Question

如圖為一簡單組合體，其底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC，
（1）求證：BE∥平面PDA；
（2）若N為線段PB的中點，求證：EN⊥平面PDB．

Answer 1

分析：（1）證明EC∥平面PDA，BC∥平面PDA，可得平面BEC∥平面PDA，由BE?平面EBC，得到 BE∥平面PDA．
 （2）連接AC與BD交于點F，證明四邊形NFCE為平行四邊形，證明AC⊥面PBD，即可得到NE⊥面PDB．

解答：解：（1）證明：∵EC∥PD，PD?平面PDA，EC?平面PDA，∴EC∥平面PDA，同理可得BC∥平面PDA．
∵EC?平面EBC，BC?平面EBC，且EC∩BC=C，∴平面BEC∥平面PDA，
又∵BE?平面EBC，∴BE∥平面PDA．
（2）證明：連接AC與BD交于點F，連接NF，∵F為BD的中點，∴NF∥PD，且NF=

1

2

PD．
又EC∥PD，且EC=

1

2

PD，∴NF∥EC且NF=EC，∴四邊形NFCE為平行四邊形，∴NE∥FC．
∵DB⊥AC，PD⊥平面ABCD，AC?面ABCD∴AC⊥PD，
又PD∩BD=D，∴AC⊥面PBD，∴NE⊥面PDB．

點評：本題考查線面平行、線面垂直的方法，證明四邊形NFCE為平行四邊形，是解題的關鍵．