Question

如圖為一簡(jiǎn)單組合體，其底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2．
（1）答題卡指定的方框內(nèi)已給出了該幾何體的俯視圖，請(qǐng)?jiān)诜娇騼?nèi)畫出該幾何體的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖；
（2）求四棱錐B-CEPD的體積；
（3）求證：BE∥平面PDA．

Answer 1

分析：（1）按照三視圖所在的平面兩兩垂直，看不見的線用虛線，看得見的用實(shí)線畫出．
（2）由PD⊥平面ABCD，PD?平面PDCE，得到平面PDCE⊥平面ABCD，因?yàn)锽C⊥CD所以BC⊥平面PDCE，從而有BC為高，然后求得底的面積，最后由棱錐體積公式求解．
（3）由EC∥PD，得EC∥平面PDA，同時(shí)，有BC∥平面PDA，因?yàn)镋C?平面EBC，BC?平面EBC且EC∩BC=C，得到平面BEC∥平面PDA，進(jìn)而有BE∥平面PDA．

解答：解：（1）該組合體的主視圖和側(cè)視圖如圖示：（3分）
（2）∵PD⊥平面ABCD，PD?平面PDCE
∴平面PDCE⊥平面ABCD
∵BC⊥CD∴BC⊥平面PDCE（5分）
∵S梯形PDCE=

1

2

(PD+EC)•DC=

1

2

×3×2=3--（6分）
∴四棱錐B-CEPD的體積VB-CEPD=

1

3

S梯形PDCE•BC=

1

3

×3×2=2．（8分）
（3）證明：∵EC∥PD，PD?平面PDA，EC?平面PDA
∴EC∥平面PDA，（10分）
同理可得BC∥平面PDA（11分）
∵EC?平面EBC，BC?平面EBC且EC∩BC=C
∴平面BEC∥平面PDA（13分）
又∵BE?平面EBC∴BE∥平面PDA（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間幾何體的三視圖，體積和線線，線面，面面平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化，考查很全面，靈活，屬中檔題．