Question

如圖為一簡單組合體，其底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC．
（1）求證：BE∥平面PDA；
（2）若平面PBE與平面ABCD所成的二面角為45°，則線段PD是線段AD的幾倍？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，先證明平面BEC∥平面PDA，然后求證：BE∥平面PDA；
（2）延長PE交DC于F，確定二面角PBE與平面ABCD平面角，建立方程求解PD和AD的關(guān)系．

解答：解：（1）∵EC∥PD，ABCD為正方形，
∴BC∥AD，
∵EC∩BC=C，
∴平面BEC∥平面PDA，
又BE?平面BEC，
∴BE∥平面PDA．
（2）延長PE交DC于F，
∵PD=2EC，
∴E，C分別是PF和DF的中點(diǎn)，
連結(jié)BF，
則∠DBF=90°，
∵PD⊥平面ABCD，
∴BF⊥平面PBD，
∴∠PBD是平面PBE與平面ABCD所成的二面角，
即∠PBD=45°．
∵ABCD為正方形，則BD=

2

AD，
∴此時PD=BD=

2

AD，
即線段PD是線段AD的

2

倍．

點(diǎn)評：本題主要考查線面平行的判斷以及二面角的應(yīng)用，利用面面平行的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的推理能力．