【題目】已知函數(shù),,其中

(I)當時,求曲線在點處的切線方程;

(Ⅱ)證明: 在區(qū)間上恰有2個零點.

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 見解析.

【解析】試題分析:(Ⅰ)求出的導(dǎo)數(shù)即可得切線的斜率,也就得到在處切線方程.(Ⅱ)先研究函數(shù)的單調(diào)性,其導(dǎo)數(shù)為,當時,利用三角函數(shù)的符號可以判斷出,當時,導(dǎo)數(shù)有唯一的零點且為函數(shù)的極大值點.結(jié)合 可以判斷存在一個零點,在上存在一個零點,故在上存在兩個不同的零點.

解析:(Ⅰ)當時, ,所以,故,又,故曲線在的切線方程為

(Ⅱ)

時,因為,故,所以是單調(diào)增函數(shù);

時, ,令,此方程有唯一解

時, , 上是單調(diào)增函數(shù);

時, , 上是單調(diào)減函數(shù);

因為的圖像是不間斷的,所以上是單調(diào)增函數(shù),在上是單調(diào)減函數(shù). 又, ,而,故,根據(jù)零點存在定理和的單調(diào)性可知存在一個零點,在上存在一個零點,故上存在兩個不同的零點.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在“新零售”模式的背景下,某大型零售公司為推廣線下分店,計劃在市的區(qū)開設(shè)分店.為了確定在該區(qū)開設(shè)分店的個數(shù),該公司對該市已開設(shè)分店的其他區(qū)的數(shù)據(jù)作了初步處理后得到下列表格.記表示在各區(qū)開設(shè)分店的個數(shù), 表示這個分店的年收入之和.

(個)

2

3

4

5

6

(百萬元)

2.5

3

4

4.5

6

(Ⅰ)該公司已經(jīng)過初步判斷,可用線性回歸模型擬合的關(guān)系,求關(guān)于的線性回歸方程;

(Ⅱ)假設(shè)該公司在區(qū)獲得的總年利潤(單位:百萬元)與之間的關(guān)系為,請結(jié)合(Ⅰ)中的線性回歸方程,估算該公司應(yīng)在區(qū)開設(shè)多少個分店,才能使區(qū)平均每個分店的年利潤最大?

參考公式:

, ,

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在四棱錐中,底面是直角梯形, ,且 ,側(cè)面底面是等邊三角形.

1)求證: ;

2)求二面角的大小.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】(2017·黃岡質(zhì)檢)設(shè)等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),公比為q,前n項和為Sn.若對任意的n∈N*,有S2n<3Sn,則q的取值范圍是(  )

A. (0,1] B. (0,2)

C. [1,2) D. (0, )

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐中,底面為梯形,平面平面

為側(cè)棱的中點,且.

(1)證明: 平面

(2)求二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在三棱柱中, 是線段的中點,且 平面

(Ⅰ)求證:平面平面

(Ⅱ)求證: 平面;

(Ⅲ)若, ,求二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),(其中

(1)若,討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)若,求證:函數(shù)有唯一的零點.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某中學調(diào)查了某班全部名同學參加書法社團和演講社團的情況,數(shù)據(jù)如下表:(單位:人)

(1)能否由的把握認為參加書法社團和參加演講社團有關(guān)?

(附:

時,有的把握說事件有關(guān);當,認為事件是無關(guān)的)

(2)已知既參加書法社團又參加演講社團的名同學中,有名男同學, , , , 名女同學, .現(xiàn)從這名男同學和名女同學中各隨機選人,求被選中且未被選中的概率.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖所示,已知兩個正方形ABCDDCEF不在同一平面內(nèi),M,N分別為AB,DF的中點.

(1)若平面ABCD⊥平面DCEF,求直線MN與平面DCEF所成角的正弦值;

(2)用反證法證明:直線MEBN是兩條異面直線.

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