Question

【題目】已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）的焦距為4 ，且橢圓C過(guò)點(diǎn)（2 ，1）． （Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為B，如果直線y=kx+1（k≠0）交橢圓C于不同的兩點(diǎn)E、F，且B，E，F(xiàn)構(gòu)成以EF為底邊，B為頂點(diǎn)的等腰三角形，判斷直線EF與圓x2+y2= 的位置關(guān)系．

Answer 1

【答案】解：（I）由題可知c=2 ，a2﹣b2=c2 ， 將點(diǎn)（2 ，1）代入橢圓方程可得 + =1，解得a=4，b=2，
則橢圓C方程是 + =1；
（II）設(shè)交點(diǎn)為E（x1 ， y1），F(xiàn)（x2 ， y2），EF的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（xM ， yM），
由 ，得（1+4k2）x2+8kx﹣12=0，
由題可知△=64k2﹣4（1+4k2）（﹣12）＞0恒成立，
x1+x2=﹣ ，x1x2=﹣ ，
可得xM= =﹣ ，yM= =1+ = ，
因?yàn)椤鰾EF是以EF為底邊，B為頂點(diǎn)的等腰角形，所以EF⊥BM．
因此BM的斜率kBM=﹣ ，又點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，﹣2），
所以kBM= =﹣ ，即﹣ =﹣ ，
解得k=± ，故EF的直線方程為± x﹣4y+4=0，
又因?yàn)閳Ax2+y2= 的圓心（0，0）到直線EF的距離d= = ＞ ，
所以直線EF與圓x2+y2= 相離
【解析】（I）由題可知c=2 ，又a2﹣b2=c2 ， 將點(diǎn)（2 ，1）代入橢圓方程，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；（II）設(shè)交點(diǎn)為E（x1 ， y1），F(xiàn)（x2 ， y2），EF的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（xM ， yM），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得M的坐標(biāo)，由兩直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，可得直線EF的方程，再求圓心到直線的距離，與班級(jí)比較，即可得到所求位置關(guān)系．