Question

求：關(guān)于x的方程x²-x+1-k²=0
（1）有一個正根且有一個負根的充要條件；
（2）有兩個同號且不相等的實根的充要條件．

Answer 1

解：（1）令f（x）=x²-x+1-k²，
其圖象是開口方向朝上的拋物線
若關(guān)于x的方程x²-x+1-k²=0有一個正根且有一個負根
則函數(shù)f（x）=x²-x+1-k²，有一個正零點和一個負零點
則f（0）＜0
即1-k²＜0
解得k＜-1，或k＞1，
即關(guān)于x的方程x²-x+1-k²=0有一個正根且有一個負根的充要條件為k＜-1，或k＞1
（2）若令f（x）=x²-x+1-k²，
其圖象是開口方向朝上，且以x=為對稱軸的拋物線
若關(guān)于x的方程x²-x+1-k²=0有兩個同號且不相等的實根
則必有兩個不等的正根，
則函數(shù)f（x）=x²-x+1-k²，有兩個正零點
則
解得-1＜k＜，或＜k＜1
故關(guān)于x的方程x²-x+1-k²=0有兩個同號且不相等的實根的充要條件為-1＜k＜，或＜k＜1
分析：（1）根據(jù)方程的根與對應(yīng)函數(shù)零點的關(guān)系，我們結(jié)合已知方程有一個正根且有一個負根，結(jié)合對應(yīng)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，易得到其充要條件為函數(shù)f（x）=x²-x+1-k²滿足f（0）＜0，解對應(yīng)的不等式即可求出對應(yīng)的參數(shù)k的值，得到關(guān)于x的方程x²-x+1-k²=0有一個正根且有一個負根的充要條件．
（2）根據(jù)方程的根與對應(yīng)函數(shù)零點的關(guān)系，我們結(jié)合已知方程有兩個同號且不相等的實根，結(jié)合對應(yīng)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，易得到其充要條件為函數(shù)f（x）=x²-x+1-k²滿足，解對應(yīng)的不等式即可求出對應(yīng)的參數(shù)k的值，得到關(guān)于x的方程x²-x+1-k²=0有兩個同號且不相等的實根的充要條件．
點評：本題考查的知識點是充要條件，二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，其中根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，構(gòu)造相對的不等式（組）是解答本題的關(guān)鍵．