Question

求：關(guān)于x的方程x²-x+1-k²=0
（1）有一個(gè)正根且有一個(gè)負(fù)根的充要條件；
（2）有兩個(gè)同號(hào)且不相等的實(shí)根的充要條件．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)方程的根與對(duì)應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，我們結(jié)合已知方程有一個(gè)正根且有一個(gè)負(fù)根，結(jié)合對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，易得到其充要條件為函數(shù)f（x）=x²-x+1-k²滿足f（0）＜0，解對(duì)應(yīng)的不等式即可求出對(duì)應(yīng)的參數(shù)k的值，得到關(guān)于x的方程x²-x+1-k²=0有一個(gè)正根且有一個(gè)負(fù)根的充要條件．
（2）根據(jù)方程的根與對(duì)應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，我們結(jié)合已知方程有兩個(gè)同號(hào)且不相等的實(shí)根，結(jié)合對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，易得到其充要條件為函數(shù)f（x）=x²-x+1-k²滿足

f(0)＞0 f( 1 2 )＜0

，解對(duì)應(yīng)的不等式即可求出對(duì)應(yīng)的參數(shù)k的值，得到關(guān)于x的方程x²-x+1-k²=0有兩個(gè)同號(hào)且不相等的實(shí)根的充要條件．

解答：解：（1）令f（x）=x²-x+1-k²，
其圖象是開口方向朝上的拋物線
若關(guān)于x的方程x²-x+1-k²=0有一個(gè)正根且有一個(gè)負(fù)根
則函數(shù)f（x）=x²-x+1-k²，有一個(gè)正零點(diǎn)和一個(gè)負(fù)零點(diǎn)
則f（0）＜0
即1-k²＜0
解得k＜-1，或k＞1，
即關(guān)于x的方程x²-x+1-k²=0有一個(gè)正根且有一個(gè)負(fù)根的充要條件為k＜-1，或k＞1
（2）若令f（x）=x²-x+1-k²，
其圖象是開口方向朝上，且以x=

1

2

為對(duì)稱軸的拋物線
若關(guān)于x的方程x²-x+1-k²=0有兩個(gè)同號(hào)且不相等的實(shí)根
則必有兩個(gè)不等的正根，
則函數(shù)f（x）=x²-x+1-k²，有兩個(gè)正零點(diǎn)
則

f(0)＞0 f( 1 2 )＜0

解得-1＜k＜-

3

2

，或

3

2

＜k＜1
故關(guān)于x的方程x²-x+1-k²=0有兩個(gè)同號(hào)且不相等的實(shí)根的充要條件為-1＜k＜-

3

2

，或

3

2

＜k＜1

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是充要條件，二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，其中根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，構(gòu)造相對(duì)的不等式（組）是解答本題的關(guān)鍵．