Question

【題目】已知橢圓：與軸交于，兩點(diǎn)，為橢圓的左焦點(diǎn)，且是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為（與，都不重合），判斷直線與軸是否交于一個(gè)定點(diǎn)？若是，請(qǐng)寫出定點(diǎn)坐標(biāo)，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）;（2）,證明見詳解

【解析】

(1)由題意可得,由△是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,可得,,進(jìn)而得到橢圓方程;

(2)設(shè)出直線的方程和,的坐標(biāo),則可知的坐標(biāo),進(jìn)而表示出的直線方程,再聯(lián)立方程與橢圓方程,即可把代入求得,結(jié)合韋達(dá)定理進(jìn)行化簡(jiǎn),進(jìn)而得出直線與軸交于定點(diǎn).

(1)由題意可得,,,

,

由△是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,可得,

,即,

則橢圓的方程為;

(2)由題可知直線的斜率不為0,故設(shè)直線的方程為:,

聯(lián)立,

得,即(),

設(shè),,,,則,,

又,,

經(jīng)過點(diǎn),,,的直線方程為,

令,則,

又,.

當(dāng)時(shí),.

故直線與軸交于定點(diǎn).