Question

符號(hào)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[π]=3，[-1.08]=-2，定義函數(shù)h（x）=[x]-x，那么下列說(shuō)法：
①函數(shù)h（x）的定義域?yàn)镽，值域?yàn)椋?1，0]；
②方程h（x）=-

1

2

有無(wú)數(shù)解；
③函數(shù)h（x）滿足h（x+1）=h（x）恒成立；   
④函數(shù)h（x）是減函數(shù)．
正確的序號(hào)是

①②③

．

Answer 1

分析：根據(jù)取整函數(shù)的定義，可得函數(shù)h（x）=[x]-x的最小正周期為1，在區(qū)間（k，k+1）（k∈Z）上是減函數(shù)，且函數(shù)的值域?yàn)椋?1，0]．由此與各個(gè)選項(xiàng)加以比較，即可得到本題的答案．

解答：解：對(duì)于①，根據(jù)[x]的定義，得
當(dāng)x為整數(shù)時(shí)，[x]=x，從而h（x）=[x]-x=0，此時(shí)h（x）得最大值；
當(dāng)x的小數(shù)部分不為0時(shí)，x-1＜[x]＜x，故h（x）=[x]-x∈（-1，0）．
綜上所述，得h（x）的定義域?yàn)镽，值域?yàn)椋?1，0]．故①正確．
對(duì)于②，當(dāng)x=k+

1

2

（k∈Z）時(shí)，[x]=k，從而h（x）=[x]-x=-

1

2

因此，方程h（x）=-

1

2

的解有無(wú)數(shù)個(gè)，故②正確；
對(duì)于③，因?yàn)橐粋�(gè)數(shù)增加1個(gè)單位后，它的小數(shù)部分不變，而整數(shù)部分增加1，
因此[x+1]=x+1，從而得到h（x+1）=[x+1]-（x+1）=[x]-x
∴h（x）滿足h（x+1）=h（x）恒成立，得③正確；
對(duì)于④，函數(shù)h（x）=[x]-x在區(qū)間（k，k+1）（k∈Z）上是減函數(shù)
但是由于函數(shù)h（x）是分段函數(shù)，圖象不連續(xù)，所以函數(shù)h（x）不是R上的減函數(shù)，故④不正確．
故答案為：①②③

點(diǎn)評(píng)：本題以取整函數(shù)為例，要我們判斷關(guān)于函數(shù)h（x）=[x]-x性質(zhì)的幾個(gè)命題的真假，著重考查了函數(shù)的單調(diào)性、周期性和函數(shù)的定義域、值域等知識(shí)，屬于中檔題．