Question

【題目】已知二次函數(shù) ，

（1）若，且對，函數(shù)的值域為，求的表達式；

（2）在(1)的條件下，函數(shù)在上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)，，且為偶函數(shù)，證明

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）由題意首先求得a,b的值，據(jù)此即可確定函數(shù)f(x)的解析式，即可確定函數(shù)的表達式；

（2）由題意結(jié)合函數(shù)的解析式得到關(guān)于m的不等式組，求解不等式組即可確定實數(shù)的取值范圍；

（3）由題意結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可得，且，據(jù)此結(jié)合函數(shù)的解析式即可證得題中的不等式.

（1）∵，

∴.

又對，函數(shù)的值域為，

∴，解得，

所以.

即

（2）由（1）知

由時，單調(diào)遞減，

故，

解得，

所以，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減.

（3）證明∵是偶函數(shù)，∴，

即

因為，不妨令，則，

又，所以，且，

故，

所以的值大于零.