Question

【題目】如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，點E，F(xiàn)分別在A1B1 ， D1C1上，A1E=D1F=4，過點E，F(xiàn)的平面α與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形．
（I）在圖中畫出這個正方形（不必說明畫法和理由）；
（II）求直線AF與平面α所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（I）交線圍成的正方形EFGH如圖：（II）作EM⊥AB，垂足為M，則：
EH=EF=BC=10，EM=AA1=8；
∴ ，∴AH=10；
以邊DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則：A（10，0，0），H（10，10，0），E（10，4，8），F(xiàn)（0，4，8）；
∴ ；
設(shè) 為平面EFGH的法向量，則：
，取z=3，則 ；
若設(shè)直線AF和平面EFGH所成的角為θ，則：
sinθ= = ；
∴直線AF與平面α所成角的正弦值為
【解析】（I）容易知道所圍成正方形的邊長為10，再結(jié)合長方體各邊的長度，即可找出正方形的位置，從而畫出這個正方形；（II）分別以直線DA，DC，DD1為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，考慮用空間向量解決本問，能夠確定A，H，E，F(xiàn)幾點的坐標(biāo)．設(shè)平面EFGH的法向量為 ，根據(jù) 即可求出法向量 ， 坐標(biāo)可以求出，可設(shè)直線AF與平面EFGH所成角為θ，由sinθ= 即可求得直線AF與平面α所成角的正弦值．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識，掌握已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．