【題目】如圖，三棱柱的所有棱長(zhǎng)都是， 平面， ， 分別是， 的中點(diǎn)．

（）求證： 平面．

（）求二面角的余弦值．

（）求點(diǎn)到平面的距離．

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）1

【解析】試題分析:（1）根據(jù)三角形相似得，根據(jù)直棱柱性質(zhì)得，又由等邊三角形性質(zhì)得，所以由線(xiàn)面垂直判定定理得平面，即，最后根據(jù)線(xiàn)面垂直判定定理得結(jié)論（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用方程組解出各面法向量，再根據(jù)向量數(shù)量積求夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系求二面角的余弦值．（3）根據(jù)向量投影得點(diǎn)到平面的距離為，再利用向量數(shù)量積求夾角可得結(jié)果

試題解析：（）證明：∵平面， 平面，∴，

∵是等邊三角形，∴，又，

∴平面，

以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：

則， ， ， ， ，

∴， ， ，

∴， ，∴， ，

又，∴平面．

（）， ，

設(shè)平面的法向量為，則，∴，

令得，又為平面的法向量，

∴二面角的余弦值為 ．

（）， ， ，

∴直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，∴點(diǎn)到平面的距離為．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線(xiàn)，設(shè)圓的半徑為1， 圓心在上.

（1）若圓心也在直線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，求切線(xiàn)方程；

（2）若圓上存在點(diǎn)，使，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】閱讀如圖所示的程序框圖，當(dāng)輸出的結(jié)果S為0時(shí)，判斷框中應(yīng)填（ ）
A.n≤4
B.n≤5
C.n≤7
D.n≤8

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前項(xiàng)和為Sn ， 若點(diǎn)An（n， ）在函數(shù)f（x）=﹣x+c的圖像上運(yùn)動(dòng)，其中c是與x無(wú)關(guān)的常數(shù)且a1=3．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=tanan+1tanan ， tan195+tan3=atan2，求數(shù)列{bn}的前99項(xiàng)和（用含a的式子表示）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù).

（1）判斷并證明在上的單調(diào)性.

（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)t,不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為1，線(xiàn)段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確結(jié)論的序號(hào)是__________．

①；

②直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為定值；

③當(dāng)為定值，則三棱錐的體積為定值；

④異面直線(xiàn)所成的角的余弦值為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知四棱錐的底面為直角梯形， ， ，且， .

（1）求證：平面平面；

（2）設(shè)，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】精準(zhǔn)扶貧是鞏固溫飽成果、加快脫貧致富、實(shí)現(xiàn)中華民族偉大“中國(guó)夢(mèng)”的重要保障.某地政府在對(duì)某鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)實(shí)施精準(zhǔn)扶貧的工作中，準(zhǔn)備投入資金將當(dāng)?shù)剞r(nóng)產(chǎn)品進(jìn)行二次加工后進(jìn)行推廣促銷(xiāo)，預(yù)計(jì)該批產(chǎn)品銷(xiāo)售量萬(wàn)件（生產(chǎn)量與銷(xiāo)售量相等）與推廣促銷(xiāo)費(fèi)萬(wàn)元之間的函數(shù)關(guān)系為（其中推廣促銷(xiāo)費(fèi)不能超過(guò)5千元）.已知加工此農(nóng)產(chǎn)品還要投入成本萬(wàn)元（不包括推廣促銷(xiāo)費(fèi)用），若加工后的每件成品的銷(xiāo)售價(jià)格定為元/件.

（1）試將該批產(chǎn)品的利潤(rùn)萬(wàn)元表示為推廣促銷(xiāo)費(fèi)萬(wàn)元的函數(shù)；（利潤(rùn)=銷(xiāo)售額-成本-推廣促銷(xiāo)費(fèi)）

（2）當(dāng)推廣促銷(xiāo)費(fèi)投入多少萬(wàn)元時(shí)，此批產(chǎn)品的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD為菱形，且∠ABC=60°，
AB=PC=2，PA=PB= ．

（1）求證：平面PAB⊥平面ABCD；
（2）設(shè)H是PB上的動(dòng)點(diǎn)，求CH與平面PAB所成最大角的正切值．

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