【題目】如果四面體的四條高交于一點(diǎn)，則該點(diǎn)稱(chēng)為四面體的垂心，該四面體稱(chēng)為垂心四面體.

（1）證明：如果四面體的對(duì)棱互相垂直，則該四面體是垂心四面體；反之亦然.

（2）給出下列四面體

①正三棱錐；

②三條側(cè)棱兩兩垂直；

③高在各面的射影過(guò)所在面的垂心；

④對(duì)棱的平方和相等.

其中是垂心四面體的序號(hào)為 .

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）①②③④

【解析】

（1）首先證明四面體的兩條高線(xiàn)交于一點(diǎn)，再證過(guò)另一頂點(diǎn)和這一點(diǎn)的直線(xiàn)為另一條高線(xiàn)，即可證明結(jié)論成立.（2）①②③可通過(guò)證明對(duì)棱垂直證明是垂心四面體，④假設(shè)四面體為垂心四面體，則可證明有對(duì)棱的平方和相等，逆推依然成立，所以④也成立.

（1）先證對(duì)棱互相垂直的四面體是垂心四面體.

作，則

，

此時(shí)兩條高線(xiàn)

連接，下證

.連接

綜上可知，四條高線(xiàn)交于點(diǎn)，故該四面體為垂心四面體；

反之，若該四面體為垂心四面體，即四條高線(xiàn)交于點(diǎn).

,,，故,

同理可證

（2）①正三棱錐底面為正三角形，側(cè)面為全等的等腰三角形，可證明三組對(duì)棱兩兩垂直，所以①符合要求.②三條側(cè)棱兩兩垂直，任一條側(cè)棱垂直另外兩條側(cè)棱所在的平面，也可證明對(duì)棱垂直，所以②符合要求.③高垂直于底面棱，在側(cè)面的射影垂直于此面的底面棱，所以底面棱垂直于高和射影所在的平面，即垂直于對(duì)棱，所以③符合要求.④假設(shè)四面體為垂心四面體，設(shè)BF交CD于E，則AC2﹣AD2＝CF2﹣DF2＝CE2﹣DE2＝BC2﹣BD2，即AC2+BD2＝AD2+BC2，反之，若故AC2+BD2＝AD2+BC2，則有C2﹣AD2＝CF2﹣DF2＝CE2﹣DE2＝BC2﹣BD2成立，即同理可證其他，故④符合要求．

①②③④均符合要求.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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組別

參加活動(dòng)次數(shù)

3

2

4

3

2

4

1

3

Ⅰ從這8個(gè)小組中隨機(jī)選出2個(gè)小組在全校進(jìn)行活動(dòng)匯報(bào)求“選出的2個(gè)小組參加社會(huì)公益服務(wù)活動(dòng)次數(shù)相等”的概率；

Ⅱ記每個(gè)小組參加社會(huì)公益服務(wù)活動(dòng)的次數(shù)為X．

求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX；

至幾小組每組有4名同學(xué)，小組有5名同學(xué)記“該班學(xué)生參加社會(huì)公益服務(wù)活動(dòng)的平均次數(shù)”為，寫(xiě)出與EX的大小關(guān)系結(jié)論不要求證明．

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