【題目】求最小的正整數(shù),使得存在一個的數(shù)陣滿足如下條件: (1)每一個數(shù)均屬于集合; (2)記為數(shù)陣中第行中的數(shù)組成的集合, 為第列中的數(shù)組成的集合,則,是4026個不同的集合.
【答案】13
【解析】
的最小值為13.
由題設(shè)知的子集數(shù).
當(dāng)時,記子集族,
,
顯然,對于, ①
而有個子集,故恰有個子集不屬于子集族.
首先證明:對于,均有.
事實上,假設(shè)存在,有,則.此時, ,.
結(jié)合式①,至少有個子集均不在子集族中,矛盾.
其次證明:要么對,均有,要么對,均有.
事實上,若存在集合,使得,由于對于,均有,且,故.
于是,結(jié)論成立.
設(shè).不妨設(shè).
于是,中元素個數(shù)小于的子集均不在子集族中;再結(jié)合式①,知這些子集也不在子集族中.
當(dāng)時, 中元素個數(shù)小于的子集數(shù)為,矛盾;
當(dāng)時, 中元素個數(shù)小于的子集數(shù)為,矛盾.
于是, ,即子集族中不包含元素個數(shù)小于6的子集.但恰有70個子集不在子集族中,故至少有個子集在子集族中.
結(jié)合式①,這些子集中的任意一個的補集(對)的元素個數(shù)均大于6,且均不屬于子集族.于是,至少有個子集不在子集族中.但,矛盾.
因此,.
下面定義數(shù)表序列如下:,.
其中,為數(shù)表,其每個數(shù)均為.
易知,對每一個,數(shù)表為數(shù)表,且其中的數(shù)均屬于集合.
接下來對,用數(shù)學(xué)歸納法證明:滿足題設(shè)的兩個條件.
顯然, 滿足條件.
假設(shè)滿足題設(shè)條件,其行與列中的數(shù)組成的集合分別為,.
考慮.
對于,其行與列中的數(shù)組成的集合分別為
;
;
;
.
而數(shù)不在中出現(xiàn),因此,它們是兩兩不同的.
所以, 滿足題設(shè)條件.
故為20482048數(shù)表,且其中的數(shù)均屬于集合{1,2,…,13},對于,則的左上角20132013的數(shù)陣滿足題設(shè)的兩個條件.
綜上,的最小值為13.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若恒成立,試確定實數(shù)的取值范圍;
(3)證明:
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【題目】為了進一步激發(fā)同學(xué)們的學(xué)習(xí)熱情,某班級建立了數(shù)學(xué)英語兩個學(xué)習(xí)興趣小組,兩組的人數(shù)如下表所示:
組別 性別 | 數(shù)學(xué) | 英語 |
男 | 5 | 1 |
女 | 3 | 3 |
現(xiàn)采用分層抽樣的方法(層內(nèi)采用簡單隨機抽樣)從兩組中共抽取3名同學(xué)進行測試.
(1)求從數(shù)學(xué)組抽取的同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率;
(2)記ξ為抽取的3名同學(xué)中男同學(xué)的人數(shù),求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】已知,拋物線: 與拋物線: 異于原點的交點為,且拋物線在點處的切線與軸交于點,拋物線在點處的切線與軸交于點,與軸交于點.
(1)若直線與拋物線交于點, ,且,求;
(2)證明: 的面積與四邊形的面積之比為定值.
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【題目】給出以下四個說法,其中正確的說法是( )
A.殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄相關(guān)指數(shù)越;
B.在刻畫回歸模型的擬合效果時,相關(guān)指數(shù)的值越大,說明擬合的效果越好;
C.在回歸直線方程中,當(dāng)解釋變量每增加一個單位時,預(yù)報變量平均增加0.2個單位;
D.對分類變量與,若它們的隨機變量的觀測值越小,則判斷“與有關(guān)系”的把握程度越大.
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【題目】甲、乙兩地相距,汽車從甲地勻速行駛到乙地,速度不超過.已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成:可變部分與速度(單位:)的平方成正比,且比例系數(shù)為,固定部分為元.
(1)把全程運輸成本(元)表示為速度的函數(shù),并求出當(dāng),時,汽車應(yīng)以多大速度行駛,才能使得全程運輸成本最小;
(2)隨著汽車的折舊,運輸成本會發(fā)生一些變化,那么當(dāng),元,此時汽車的速度應(yīng)調(diào)整為多大,才會使得運輸成本最小.
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【題目】已知函數(shù),其中,為實參數(shù).求所有的數(shù)對,使得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰好有2011個零點.
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【題目】某運動員每次射擊命中不低于8環(huán)的概率為,命中8環(huán)以下的概率為,現(xiàn)用隨機模擬的方法估計該運動員三次射擊中有兩次命中不低于8環(huán),一次命中8環(huán)以下的概率:先用計算器產(chǎn)生0至9之間取整數(shù)值的隨機數(shù).指定0、1、2、3、4、5表示命中不低于8環(huán),6、7、8、9表示命中8環(huán)以下,再以三個隨機數(shù)作為一組.代表三次射擊的結(jié)果,產(chǎn)生如下20組隨機數(shù):
524207443815510013429966027954
576086324409472796544917460962
據(jù)此估計,該運動員三次射擊中有兩次命中不低于8環(huán),一次命中8環(huán)以下的概率為( 。
A. B. C. D.
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【題目】甲、乙兩名射箭選手最近100次射箭所得環(huán)數(shù)如下表所示.
甲選手100次射箭所得環(huán)數(shù)
環(huán)數(shù) | 7 | 8 | 9 | 10 |
次數(shù) | 15 | 24 | 36 | 25 |
乙選手100次射箭所得環(huán)數(shù)
環(huán)數(shù) | 7 | 8 | 9 | 10 |
次數(shù) | 10 | 20 | 40 | 30 |
以甲、乙兩名射箭選手這100次射箭所得環(huán)數(shù)的頻率作為概率,假設(shè)這兩人的射箭結(jié)果相互獨立.
(1)若甲、乙各射箭一次,所得環(huán)數(shù)分別為X,Y,分別求X,Y的分布列并比較的大;
(2)甲、乙相約進行一次射箭比賽,各射3箭,累計所得環(huán)數(shù)多者獲勝.若乙前兩次射箭均得10環(huán),且甲第一次射箭所得環(huán)數(shù)為9,求甲最終獲勝的概率.
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