Question

【題目】已知橢圓的左,右焦點(diǎn)分別是,,離心率為,直線(xiàn)被橢圓C截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為.

(1)求橢圓C的方程;

(2)過(guò)點(diǎn)且斜率為k的直線(xiàn)l交橢圓C于A,B兩點(diǎn),交x軸于P點(diǎn),點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M,直線(xiàn)BM交x軸于Q點(diǎn).求證:(O為坐標(biāo)原點(diǎn))為常數(shù).

Answer 1

【答案】(1);(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由題意可得點(diǎn)在橢圓上,代入橢圓方程可得，再利用橢圓的離心率，，求出即可求解.

（2）設(shè)直線(xiàn)l的方程為,點(diǎn)P的坐標(biāo)為，設(shè),,則,根據(jù)題意求出點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立，利用韋達(dá)定理將點(diǎn)坐標(biāo)用表示即可證出.

設(shè)橢圓C的焦距為,則,

由直線(xiàn)被橢圓C截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為可知,點(diǎn)在橢圓上,

從而.結(jié)合,可解得,.

故橢圓C的方程為.

(2)依題意,直線(xiàn)l的方程為,則P的坐標(biāo)為.

設(shè),,則,

直線(xiàn)BM的方程為,令,

得Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.①

又由,得,

,

得,

代入①得,

得,所以為常數(shù)4.