Question

【題目】已知是滿足下述條件的所有函數(shù)組成的集合：對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意兩個(gè)自變量、,均有成立.

(1)已知定義域?yàn)?/span>的函數(shù),求實(shí)數(shù)、的取值范圍；

(2)設(shè)定義域?yàn)?/span>的函數(shù),且,求正實(shí)數(shù)的取值范圍；

(3)已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,求證：.

Answer 1

【答案】(1)，；(2)；(3)證明見解析.

【解析】

(1)根據(jù)題意得到不等式,通過不等式可以求出實(shí)數(shù)、的取值范圍；

(2)求出時(shí), 正實(shí)數(shù)的取值范圍,然后根據(jù)補(bǔ)集思想,求出正實(shí)數(shù)的取值范圍即可；

(3)設(shè),利用分子有理化,絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，可以證明出

,這樣就可以證明出.

(1)因?yàn)槎�義域?yàn)?/span>的函數(shù),所以均有

成立,即

,顯然,因此，；

(2) 設(shè)定義域?yàn)?/span>的函數(shù),且,所以均有

成立,即

,

設(shè),即在上恒成立,

,因此有：

,因此當(dāng)時(shí), 正實(shí)數(shù)的取值范圍為：；

(3) 設(shè)

,

所以有,顯然

也成立.