如圖，在底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2的正四棱柱中，P是側(cè)棱上的一點(diǎn)，.
（1）試確定m，使直線AP與平面BDD1B1所成角為60º；
（2）在線段上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得對(duì)任意的m，
⊥AP，并證明你的結(jié)論.

（１）60º. （２）Q為的中點(diǎn)

解析試題分析：（１）利用空間向量研究線面角，關(guān)鍵在于正確表示各點(diǎn)坐標(biāo)，正確求出平面一個(gè)法向量，正確理解線面角與向量夾角之間互余的關(guān)系. 建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0),  B(1,1,0),  P(0,1,m)，C(0,1,0),  D(0,0,0), B1(1,1,1),  D1(0,0,2). 所以又由知為平面的一個(gè)法向量. =，解得（２）同（1）若在上存在這樣的點(diǎn)Q，設(shè)此點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，則.，即Q為的中點(diǎn).
（１）建立空間直角坐標(biāo)系，則
A(1,0,0),  B(1,1,0),  P(0,1,m)，C(0,1,0),  D(0,0,0),
B1(1,1,1),  D1(0,0,2).所以
又由的一個(gè)法向量.設(shè)與所成的角為，
則=，      5分
解得.故當(dāng)時(shí)，直線AP與平面所成角為60º.    7分
（２）若在上存在這樣的點(diǎn)Q，設(shè)此點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，
則.
依題意，對(duì)任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP. 等價(jià)于

即Q為的中點(diǎn)時(shí)，滿足題設(shè)的要求.                 14分
考點(diǎn)：利用空間向量研究線面關(guān)系

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，四棱錐中，，，，平面⊥平面，是線段上一點(diǎn)，，．
（1）證明：⊥平面；
（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在三棱柱中，底面，，，分別是棱，的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn)，且//平面.
（1）求的值；
（2）求證：；
（3）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（2013•天津）如圖，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，
AA1=AB=2，E為棱AA1的中點(diǎn)．
（1）證明B1C1⊥CE；
（2）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．
（3）設(shè)點(diǎn)M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為，求線段AM的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在三棱錐中，直線平面，且
，又點(diǎn)，，分別是線段，，的中點(diǎn)，且點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)．
證明：直線平面；
(2) 若，求二面角的平面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，，∥，且，，為的中點(diǎn)．

（1）設(shè)與平面所成的角為，二面角的大小為，求證：；
（2）在線段上是否存在一點(diǎn)（與兩點(diǎn)不重合），使得∥平面? 若存在，求的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如下圖，在四棱柱中，底面和側(cè)面都
是矩形，是的中點(diǎn)，，.
（1）求證：
（2）求證：平面；
（3）若平面與平面所成的銳二面角的大小為，求線段的長(zhǎng)度.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，D、E分別是AB、BB1的中點(diǎn)，AA1＝AC＝CB＝AB.

(1)證明：BC1∥平面A1CD；
(2)求二面角DA1CE的正弦值．.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱(chēng)為直線的法向量，在平面直角坐標(biāo)系中，利用求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法，可以求出過(guò)點(diǎn)A（—3，4），且法向量為的直線（點(diǎn)法式）方程為類(lèi)比以上方法，在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，2，3）且法向量為的平面（點(diǎn)法式）方程為        。（請(qǐng)寫(xiě)出化簡(jiǎn)后的結(jié)果）

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同步練習(xí)冊(cè)答案