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如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，，∥，且，，為的中點．

（1）設與平面所成的角為，二面角的大小為，求證：；
（2）在線段上是否存在一點（與兩點不重合），使得∥平面? 若存在，求的長；若不存在，請說明理由．

（1）詳見解析；（2）存在，的長為.

解析試題分析：（1）直線和平面所成的角以及二面角的計算，可以考慮兩種方法，其一利用傳統立體幾何的方法，由已知得，，又，故面，則，由平面，，故，則，然后分別在直角三角形中，求，或者可以建立空間直角坐標系，通過平面的法向量和直線的方向向量求直線和平面所成的角，利用兩個半平面的法向量來求二面角的大��；（2）建立空間直角坐標系，設點，并求出半平面的法向量，利用和法向量垂直，列等式，即可求解.

試題解析：解法一：(1)證明： 又
                                       1分
又平面，,面     2分
∴               3分
,                5分
                                   6分
(2)取的中點，連交于,由與相似得，,  7分
在上取點,使,則,                     8分
在上取點使,由于平行且等于,               
故有平行且等于，                                               9分
四邊形為平行四邊形，所以,                             10分
而, 故有∥平面

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，AC＝2，BD＝2，E是PB上任意一點．
(1)求證：AC⊥DE；
(2)已知二面角A­PB­D的余弦值為，若E為PB的中點，求EC與平面PAB所成角的正弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖長方體中，底面ABCD是邊長為1的正方形，E為延長線上的一點且滿足.
（1）求證：平面；
（2）當為何值時，二面角的大小為.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在底面邊長為1，側棱長為2的正四棱柱中，P是側棱上的一點，.
（1）試確定m，使直線AP與平面BDD1B1所成角為60º；
（2）在線段上是否存在一個定點，使得對任意的m，
⊥AP，并證明你的結論.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面為矩形， 為等邊三角形，，點為中點，平面平面.

（1）求異面直線和所成角的余弦值；
（2）求二面角的大小.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，等腰梯形ABCD,AD//BC,P是平面ABCD外一點，P在平面ABCD的射影O恰在AD上，.

（1）證明：；
（2）求二面角A-BP-D的余弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知四棱錐P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°，PB=BC=CD=AB.Q是PC上的一點，且PA∥平面QBD.

⑴確定Q的位置;
⑵求二面角Q-BD-C的平面角的余弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，已知平面四邊形中，為的中點，，，
且．將此平面四邊形沿折成直二面角，
連接，設中點為．

（1）證明：平面平面；
（2）在線段上是否存在一點，使得平面？若存在，請確定點的位置；若不存在，請說明理由．
（3）求直線與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在如圖所示的幾何體中，四邊形是等腰梯形，∥，，．在梯形中，∥，且，⊥平面．

（1）求證：；
（2）若二面角為，求的長．

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