【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和是Sn,且Sn=1(n∈N),數(shù)列{bn}是公差d不等于0的等差數(shù)列,且滿足:b1=,而b2,b5,ba14成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式;
(2)設cn=anbn,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.
【答案】(1),;(2)
【解析】分析:(I)Sn=1(n∈N),n≥2時,Sn﹣1+an﹣1=1,相減可得:an﹣an﹣1=0,化為:an=an﹣1.利用等比數(shù)列的通項公式可得an.數(shù)列{bn}是公差d不等于0的等差數(shù)列,且滿足:b1==1.由b2,b5,b14成等比數(shù)列.可得=b2b14,(1+4d)2=(1+d)(1+13d),d≠0.解得d.即可得出;(Ⅱ)設cn=anbn=,利用錯位相減法即可得出.
詳解:
(1)Sn=1(n∈N),n≥2時,Sn﹣1+an﹣1=1,相減可得:an﹣an﹣1=0,化為:an=an﹣1.
n=1時,a1+=1,解得a1=.
∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列,首項為,公比為.∴an==2×.
數(shù)列{bn}是公差d不等于0的等差數(shù)列,且滿足:b1==1.
∵b2,b5,b14成等比數(shù)列.∴=b2b14,
∴(1+4d)2=(1+d)(1+13d),d≠0.解得d=2.∴bn=1+2(n﹣1)=2n﹣1.
(2)設cn=anbn=.
求數(shù)列{cn}的前n項和Tn=+……+.
=+……++,
相減可得:Tn=+4﹣=+4×﹣,
化為:Tn=2﹣.
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【題目】已知是圓上任意一點,過作軸的垂線段, 為垂足.當點在圓上運動時,線段中點的軌跡為曲線(包括點和點),為坐標原點.
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)直線與曲線相切,且與圓相交于兩點,當的面積最大時,試求直線的方程.
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【題目】已知函數(shù),其中
(1)當時,求函數(shù)在處的切線方程;
(2)若函數(shù)在定義域上有且只有一個極值點,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若對任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】某校學生研究學習小組發(fā)現(xiàn),學生上課的注意力指標隨著聽課時間的變化而變化,老師講課開始時,學生的興趣激增;接下來學生的興趣將保持較理想的狀態(tài)一段時間,隨后學生的注意力開始分散.設表示學生注意力指標.
該小組發(fā)現(xiàn)隨時間(分鐘)的變化規(guī)律(越大,表明學生的注意力越集中)如下:(且).
若上課后第分鐘時的注意力指標為,回答下列問題:
()求的值.
()上課后第分鐘和下課前分鐘比較,哪個時間注意力更集中?并請說明理由.
()在一節(jié)課中,學生的注意力指標至少達到的時間能保持多長?
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【題目】如圖,已知長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=2,CC1=5,E是棱CC1上不同于端點的點,且.
(1) 當∠BEA1為鈍角時,求實數(shù)λ的取值范圍;
(2) 若λ=,記二面角B1-A1B-E的的大小為θ,求|cosθ|.
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【題目】如圖,已知橢圓的右準線的方程為,焦距為.
(1)求橢圓的方程;
(2)過定點作直線與橢圓交于點(異于橢圓的左、右頂點)兩點,設直線與直線相交于點.
①若,試求點的坐標;
②求證:點始終在一條直線上.
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【題目】(本題滿分12分)已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合,極軸與直角坐標系的x軸的正半軸重合,且兩個坐標系的單位長度相同.已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),曲線C的極坐標方程為.
(Ⅰ)若直線l的斜率為-1,求直線l與曲線C交點的極坐標;
(Ⅱ)若直線l與曲線C相交弦長為,求直線l的參數(shù)方程(標準形式).
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【題目】已知橢圓E: 的左焦點為,且過點.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設直線與橢圓E交于兩點,與的交點為,且滿足.
①若,求: 的值;
②設點是橢圓E的左頂點,點關于軸的對稱點為點,試探究:在線段上是否存在一個定點,使得直線過定點,如果存在,求出點的坐標;如果不存在,請說明理由。
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