Question

（本題滿分14分）
已知橢圓的離心率為，直線過點(diǎn)，，且與橢圓相切于點(diǎn).
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在過點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)、，使得
?若存在，試求出直線的方程；若不存在,請說明理由.

Answer 1

解: （Ⅰ）由題得過兩點(diǎn)，直線的方程為.………… 1分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823195832312497.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，.
設(shè)橢圓方程為,
由消去得，.
又因?yàn)橹本�與橢圓相切,所以,解得.
所以橢圓方程為.    ……………………………………………… 5分
（Ⅱ）易知直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為，…………………… 6分
由消去，整理得. ………… 7分
由題意知，
解得.  ……………………………………………………………… 8分
設(shè)，，則，.     …… 9分
又直線與橢圓相切，
由解得，所以. ……………………………10分
則. 所以.
又





所以，解得.經(jīng)檢驗(yàn)成立.  …………………… 13分
所以直線的方程為.  …………………………………… 14分
 

略