Question

已知點是中心在原點，長軸在x軸上的橢圓的一個頂點，離心率為，橢圓的左右焦點分別為F₁和F₂ 。
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）點M在橢圓上，求⊿MF₁F₂面積的最大值；
（Ⅲ）試探究橢圓上是否存在一點P，使，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）不存在，理由見解析。

（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為，由已知， ，   . 解得，
∴所求橢圓方程為。
（Ⅱ）令 ，則
∵，故的最大值為，
∴當時，的最大值為。
（Ⅲ）假設(shè)存在一點P, 使，∴，∴⊿PF₁F₂為直角三角形，∴  ①，
又∵       ②，
∴②²－①，得 ∴
即=5，但由（1）得最大值為，故矛盾，
∴不存在一點P, 使。