【題目】在(1+x+x2n= x x2+… xr+… x2n1 x2n的展開式中,把D ,D ,D …,D …,D 叫做三項式系數(shù)
(1)求D 的值
(2)根據(jù)二項式定理,將等式(1+x)2n=(1+x)n(x+1)n的兩邊分別展開可得,左右兩邊xn的系數(shù)相等,即C =(C 2+(C 2+(C 2+…+(C 2 , 利用上述思想方法,請計算D C ﹣D C +D C ﹣…+(﹣1)rD C +.. C C 的值.

【答案】
(1)解:令x=1,則D40+D41+D42+D43+D44+D45+D46+D47+D48=34=81,

令x=﹣1,則D40﹣D41+D42﹣D43+D44﹣D45+D46﹣D47+D48=(1﹣1+1)4=1,

∴D

= [(D40+D41+D42+D43+D44+D45+D46+D47+D48

+(D40﹣D41+D42﹣D43+D44﹣D45+D46﹣D47+D48)]= ×(81+1)=41


(2)解:∵(1+x+x22017 =D20170+D20171x+D20172x2+…+D2017rxr+…+D20174033x4033+D20174034x4034,

(x﹣1)2017 =C20170x2017﹣C20171x2016+C20172x2015﹣C20173x2015+…+﹣C20172016x+C20172017,

其中其中x2017系數(shù)為D20170C20170﹣D20171C20171+D20172C20172﹣D20173C20173+…+(﹣1)rD C +.. C C

∵(1+x+x22017 (x﹣1)2017=(x3﹣1)2017

而二項式的(x3﹣1)2017的通項公式 Tr+1=C2017r(﹣1)r(x32017r,

因為2017不是3的倍數(shù),所以(x3﹣1)2017的展開式中沒有x2017項,由代數(shù)式恒成立,

D20170C20170﹣D20171C20171+D20172C20172﹣D20173C20173+…+(﹣1)rD C +.. C C =0


【解析】(1)分別根據(jù)新定義,令x=1或x=﹣1,即可求出答案,(2)根據(jù)(1+x+x22017 (x﹣1)2017 =(x3﹣1)2017的等式兩邊的x2017項的系數(shù)相同,從求得要求式子的值.

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