Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，，E是PC的中點，平面PAC⊥平面ABCD．

（1）證明：ED∥平面PAB；

（2）若，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）取PB的中點F，連接AF，EF，通過證明四邊形ADEF是平行四邊形，得到DE∥AF，從而證出ED∥平面PAB；

（2）通過做輔助線找到二面角A﹣PC﹣D的平面角，求出其余弦值即可．

（1）證明：取PB的中點F，連接AF，EF．

∵EF是△PBC的中位線，∴EF∥BC，且EF．

又AD＝BC，且ADBC，∴AD∥EF且AD＝EF，

∴四邊形ADEF是平行四邊形．∴DE∥AF，

又DE面ABP，AF面ABP，

∴ED∥面PAB．

（2）解：取BC的中點M，連接AM，則AD∥MC且AD＝MC，

∴四邊形ADCM是平行四邊形，

∴AM＝MC＝MB，則A在以BC為直徑的圓上．

∴AB⊥AC，可得AC．

過D作DG⊥AC于G，

∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD＝AC，

∴DG⊥平面PAC，則DG⊥PC．

過G作GH⊥PC于H，則PC⊥面GHD，連接DH，則PC⊥DH，

∴∠GHD是二面角A﹣PC﹣D的平面角．

在△ADC中，GD，

連接AE， cos∠ACE，

AE，

∵點P到AC的距離d1，

∴點A到PC的距離．

GH．

在Rt△GDH中，HD，

∴cos∠GHD．

即二面角A﹣PC﹣D的余弦值為．