【題目】已知動點到點的距離比到直線的距離小，設點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過曲線上一點（）作兩條直線，與曲線分別交于不同的兩點，，若直線，的斜率分別為，，且.證明：直線過定點.

【答案】（1）． （2）證明見詳解.

【解析】

（1）將描述的軌跡性質，轉化為拋物線的定義，據此寫出曲線方程；

（2）設出直線AB方程，利用，得到直線AB方程中系數(shù)之間的關系，從而證明直線恒過定點.

（1）由題意可知，到點的距離比到直線的距離小，

則：動點到點的距離與到直線的距離相等，

故：點的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，

所以曲線的方程為．

（2）因為點M在拋物線上，故可知，

設點，，直線的方程為：，

聯(lián)立，得，

所以，

所以；

因為，

即，

所以，

等價于，所以或

當時，直線的方程：

直線過定點與重合，舍去；

當時，直線的方程：

直線過定點，所以直線過定點．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在多面體中，底面是正方形，梯形底面，且．

（Ⅰ）證明平面平面；

（Ⅱ）平面將多面體分成兩部分，求兩部分的體積比．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，正方體的棱長為，點、為棱、的中點.

（1）求證：平面；

（2）求點到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)()，().

（1）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（2）當時，過上一點作的切線，判斷：可以作出多少條切線，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）令，若曲線在點處的切線的縱截距為，求的值；

（2）設，若方程在區(qū)間內有且只有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系xOy中，直角三角形ABC的三個頂點都在橢圓上，其中A（0，1）為直角頂點．若該三角形的面積的最大值為，則實數(shù)a的值為_____．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的焦距為2，過點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設橢圓的右焦點為，定點，過點且斜率不為零的直線與橢圓交于，兩點，以線段為直徑的圓與直線的另一個交點為，試探究在軸上是否存在一定點，使直線恒過該定點，若存在，求出該定點的坐標；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若在單調遞增，求的范圍；

（2）討論的單調性.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2020年春節(jié)期間，全國人民都在抗擊“新型冠狀病毒肺炎”的斗爭中.當時武漢多家醫(yī)院的醫(yī)用防護物資庫存不足，某醫(yī)院甚至面臨斷貨危機，南昌某生產商現(xiàn)有一批庫存的醫(yī)用防護物資，得知消息后，立即決定無償捐贈這批醫(yī)用防護物資，需要用A、B兩輛汽車把物資從南昌緊急運至武漢.已知從南昌到武漢有兩條合適路線選擇，且選擇兩條路線所用的時間互不影響.據調查統(tǒng)計2000輛汽車，通過這兩條路線從南昌到武漢所用時間的頻數(shù)分布表如下：

所用的時間（單位：小時）

路線1的頻數(shù)

200

400

200

200

路線2的頻數(shù)

100

400

400

100

假設汽車A只能在約定交貨時間的前5小時出發(fā)，汽車B只能在約定交貨時間的前6小時出發(fā)（將頻率視為概率）.為最大可能在約定時間送達這批物資，來確定這兩車的路線.

（1）汽車A和汽車B應如何選擇各自的路線.

（2）若路線1、路線2的“一次性費用”分別為3.2萬元、1.6萬元，且每車醫(yī)用物資生產成本為40萬元（其他費用忽略不計），以上費用均由生產商承擔，作為援助金額的一部分.根據這兩輛車到達時間分別計分，具體規(guī)則如下（已知兩輛車到達時間相互獨立，互不影響）：

到達時間與約定時間的差x（單位：小時）

該車得分

0

1

2

生產商準備根據運輸車得分情況給出現(xiàn)金排款，兩車得分和為0，捐款40萬元，兩車得分和每增加1分，捐款增加20萬元，若汽車A、B用（1）中所選的路線運輸物資，記該生產商在此次援助活動中援助總額為Y（萬元），求隨機變量Y的期望值，（援助總額一次性費用生產成本現(xiàn)金捐款總額）

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