Question

已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的不等式lnx＜mx對一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）某同學(xué)發(fā)現(xiàn)：總存在正實數(shù)a、b（a＜b），使a^b=b^a．試問：他的判斷是否正確？若不正確，請說明理由；若正確，請寫出a的取值范圍（不需要解答過程）．

Answer 1

解：（1）定義域為（0，+∞），，令，則x=e，
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，e）；f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（e，+∞）．

（2）∵不等式lnx＜mx對一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，
∴分離m得，對一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，
∴下面即求在x∈[a，2a]（其中a＞0）上的最大值；
∵a＞0，由（2）知：f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減．
當2a≤e時，即時，f（x）在[a，2a]上單調(diào)遞增，∴；
當a≥e時，f（x）在[a，2a]上單調(diào)遞減，∴；
當a＜e＜2a時，即時，f（x）在[a，e]上單調(diào)遞增，f（x）在[e，2a]上單調(diào)遞減，
∴．
綜上得：
當時，；
當a≥e時，；
當時，．
（3）正確，a的取值范圍是1＜a＜e．（16分）
注：理由如下，考慮函數(shù)f（x）的大致圖象．
當x→+∞時，f（x）→0．
又∵f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，∴f（x）的圖象如圖所示．

∴總存在正實數(shù)a、b且1＜a＜e＜b，使得f（a）=f（b），
即，即a^b=b^a，此時1＜a＜e．
分析：（1）先確定定義域為（0，+∞），求導(dǎo)，則由“f′（x）≥0，為增區(qū)間，f′（x）≤0，為減區(qū)間”求解．
（2）將“不等式lnx＜mx對一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立”轉(zhuǎn)化為：“對一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，”只要求得在x∈[a，2a]（其中a＞0）上的最大值即可．
（3）根據(jù)導(dǎo)數(shù)，作出函數(shù)f（x）的大致圖象．易知當x→+∞時，f（x）→0．又∵f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，由，即得a^b=b^a．
點評：本題主要考查用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，基本思路是：當函數(shù)為增函數(shù)時，導(dǎo)數(shù)大于等于零；當函數(shù)為減函數(shù)時，導(dǎo)數(shù)小于等于零，已知單調(diào)性求參數(shù)的范圍時，往往轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)函數(shù)的最值問題．