Question

已知函數(shù)．

（1）求的最小值；

（2）當函數(shù)自變量的取值區(qū)間與對應(yīng)函數(shù)值的取值區(qū)間相同時，這樣的區(qū)間稱為函數(shù)的保值區(qū)間.設(shè)，試問函數(shù)在上是否存在保值區(qū)間？若存在，請求出一個保值區(qū)間；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）在處取得最小值．

（2）函數(shù)在上不存在保值區(qū)間,證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，解得函數(shù)的減區(qū)間；

解，得函數(shù)的增區(qū)間．

確定在處取得最小值．

也可以通過“求導(dǎo)數(shù)、求駐點、研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、確定極值（最值）” .

（2）函數(shù)在上不存在保值區(qū)間.

函數(shù)存在保值區(qū)間即函數(shù)存在自變量的取值區(qū)間與對應(yīng)函數(shù)值的取值區(qū)間相同.因此，可以假設(shè)函數(shù)存在保值區(qū)間,研究對應(yīng)函數(shù)值的取值區(qū)間.在研究函數(shù)值取值區(qū)間過程中，要么得到肯定結(jié)論，要么得到矛盾結(jié)果.本題通過求導(dǎo)數(shù)：，明確時， ，得到所以為增函數(shù)，因此

轉(zhuǎn)化得到方程有兩個大于的相異實根，構(gòu)造函數(shù) 后知其為單調(diào)函數(shù)，推出矛盾，作出結(jié)論.

試題解析：

（1）求導(dǎo)數(shù)，得．

令，解得． 2分

當時，，所以在上是減函數(shù)；

當時，，所以在上是增函數(shù)．

故在處取得最小值． 6分

（2）函數(shù)在上不存在保值區(qū)間,證明如下：

假設(shè)函數(shù)存在保值區(qū)間,

由得：

因時， ，所以為增函數(shù)，所以

即方程有兩個大于的相異實根 9分

設(shè)

因，，所以在上單增

所以在區(qū)間上至多有一個零點 12分

這與方程有兩個大于的相異實根矛盾

所以假設(shè)不成立，即函數(shù)在上不存在保值區(qū)間. 13分

考點：新定義問題，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值，轉(zhuǎn)化與化歸思想，間接推理.