Question

（2007•上海模擬）已知向量

a

={sinx，cosx}，

b

={cosx，cosx}，(x∈R)，已知函數f（x）=

a

•(

a

+

b

)
（1）求函數f（x）的最值與最小正周期；
（2）求使不等式f(x)≥

3

2

x∈[0，π]成立的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意，可先由向量數量積公式將函數變?yōu)槿�角函數，再利用三角恒等變換公式將其變?yōu)閒（x）=

3

2

+

2

2

sin(2x+

π

4

)，由正弦函數的性質求最值、周期即可；
（2）可令f（x）=

3

2

+

2

2

sin(2x+

π

4

)≥

3

2

，解此三角不等式得到x的取值范圍，計算出x∈[0，π]部分即為使不等式f(x)≥

3

2

，x∈[0，π]成立的x的取值范圍．

解答：解：

a

+

b

={sinx+cosx，2cosx}…（1分）
f（x）=

a

•(

a

+

b

)
=sinx（sinx+cosx）+2cos²x
=1+

1

2

sin2x+

1

2

(cos2x+1)
=

3

2

+

2

2

sin(2x+

π

4

)…（4分）
（1）∴f（x）的最大值是

3

2

+

2

2

，f（x）的最小值是

3

2

-

2

2

，…（6分）
f（x）的最小正周期是T=

2π

2

=π…（7分）
（2）由解知f(x)≥

3

2

⇒

3

2

+

2

2

sin(2x+

π

4

)≥

3

2

⇒sin(2x+

π

4

)≥0⇒kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，k∈Z…（10分）
又∵x∈[0，π]
∴x的取值范圍是[0，

3π

8

]∪[

7π

8

，π]…（12分）

點評：本題考點是平面向量綜合題，考查了向量數量積運算，加法運算，三角函數的最值，三角函數的周期求法，三角不等式的解法，解題的關鍵是對函數的解析式化簡，熟練掌握向量運算公式及三角恒等變換公式，本題綜合性較強，是向量與三角綜合考查的經典題型