【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知點(diǎn)的極坐標(biāo)為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．

（1）直線過(guò)且與曲線相切，求直線的極坐標(biāo)方程；

（2）點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，求曲線 上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的取值范圍．

【答案】（1）或；（2）.

【解析】

試題分析：（1）將點(diǎn)及曲線化為普通方程，將直線設(shè)為點(diǎn)斜式，利用圓心到直線的距離等于半徑得的值，在利用化為極坐標(biāo)方程；（2）圓外的點(diǎn)到圓上距離的最大值為圓心到直線的距離加上半徑，最小值為圓心到直線的距離減去半徑得解．

試題解析：（1）由題意得點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，曲線的一般方程為，．

設(shè)直線的方程為，即．

∵直線過(guò)且與曲線相切，∴，

即，解得或，

∴直線的極坐標(biāo)方程為或

（2）∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，∴點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，．

則點(diǎn)到圓心的距離為，

曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為，最大值為，

曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的取值范圍為

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（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）求在上的最小值．

（3）設(shè)，若對(duì)及有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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（1）證明：；

（2）設(shè)與平面所成的角為，求二面角的余弦值的大小.

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（1）求的值；

（2）從袋子中不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)小球，記第一次取出的小球標(biāo)號(hào)為，第二次取出的小球標(biāo)號(hào)為．

（i）記“”為事件，求事件的概率；

（ii）在區(qū)間內(nèi)任取2個(gè)實(shí)數(shù)，求事件“恒成立”的概率．

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【題目】已知圓外的有一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線.

（1）當(dāng)直線過(guò)圓心時(shí)，求直線的方程；

（2）當(dāng)直線與圓相切時(shí)，求直線的方程；

（3）當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，求直線被圓所截得的弦長(zhǎng).

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【題目】已知曲線的方程為：，其中：，且為常數(shù).

（1）判斷曲線的形狀，并說(shuō)明理由；

（2）設(shè)曲線分別與軸，軸交于點(diǎn)(不同于坐標(biāo)原點(diǎn)），試判斷的面積是否為定值？并證明你的判斷；

（3）設(shè)直線與曲線交于不同的兩點(diǎn),且為坐標(biāo)原點(diǎn)），求曲線的方程.

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（1）用每天生產(chǎn)的衛(wèi)兵個(gè)數(shù)與騎兵個(gè)數(shù)表示每天的利潤(rùn)（元）；

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（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；

（3）求證：對(duì)于任意的時(shí)，都有成立．

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