【題目】已知函數(shù)．

當(dāng)時(shí)，試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并證明；

若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

【答案】（1）見(jiàn)解析； （2）.

【解析】

(1)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的證明的定義法，取值，做差，若， ，判符號(hào)；（2）方法一，將問(wèn)題等價(jià)于 恒成立，轉(zhuǎn)化為軸動(dòng)區(qū)間定的問(wèn)題；方法二，變量分離，轉(zhuǎn)化為 恒成立，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問(wèn)題.

（1）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，證明如下：

對(duì)任意的，，若，

，

由，故有：，，

因此：，，

故有在上單調(diào)遞增；

（2）方法一：不等式在上恒成立

，

取，對(duì)稱軸

當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸，

∴在上單調(diào)遞增， ，

故滿足題意，

當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸，

又在上恒成立，

故

解得：，

故

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.

方法二：不等式在上恒成立

。

取

由結(jié)論：定義在上的函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值.

故 。

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)函數(shù)取得最小值.

故，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知四棱錐，四邊形是正方形， ．

（1）證明：平面平面；

（2）若為的中點(diǎn)，求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示，已知AB為圓O的直徑，C，D是圓O上的兩個(gè)點(diǎn)，CE⊥AB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF=FG．

（1）求證：AC是∠DAB的平分線；
（2）求證：OF∥AG．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知a＞0且滿足不等式22a+1＞25a﹣2．

（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）求不等式loga（3x+1）＜loga（7﹣5x）；

（3）若函數(shù)y=loga（2x﹣1）在區(qū)間[1，3]有最小值為﹣2，求實(shí)數(shù)a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】廣場(chǎng)舞是現(xiàn)代城市群眾文化、娛樂(lè)發(fā)展的產(chǎn)物，其兼具文化性和社會(huì)性，是精神文明建設(shè)成果的一個(gè)重要指標(biāo)和象征.2015年某高校社會(huì)實(shí)踐小組對(duì)某小區(qū)跳廣場(chǎng)舞的人的年齡進(jìn)行了凋查，隨機(jī)抽取了40名廣場(chǎng)舞者進(jìn)行調(diào)查，將他們年齡分成6段：[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）估計(jì)在40名廣場(chǎng)舞者中年齡分布在[40，70）的人數(shù)；
（2）求40名廣場(chǎng)舞者年齡的中位數(shù)和平均數(shù)的估計(jì)值；
（3）若從年齡在[20，40）中的廣場(chǎng)舞者中任取2名，求這兩名廣場(chǎng)舞者年齡在[30，40）中的人數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）探究函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

（3）若函數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某家庭進(jìn)行理財(cái)投資，有兩種方式，甲為投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品，乙為投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品，設(shè)投資甲、乙兩種產(chǎn)品的年收益分別為、萬(wàn)元，根據(jù)長(zhǎng)期收益率市場(chǎng)預(yù)測(cè)，它們與投入資金萬(wàn)元的關(guān)系分別為，，（其中，，都為常數(shù)），函數(shù)，對(duì)應(yīng)的曲線,如圖所示．

（1）求函數(shù)、的解析式；

（2）若該家庭現(xiàn)有萬(wàn)元資金，全部用于理財(cái)投資，問(wèn)：如何分配資金能使一年的投資獲得最大收益，其最大收益是多少萬(wàn)元？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】拋物線 （ ）的焦點(diǎn)為 ，已知點(diǎn) ， 為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足 .過(guò)弦 的中點(diǎn) 作拋物線準(zhǔn)線的垂線 ，垂足為 ，則 的最大值為__________．

【答案】1

【解析】設(shè)，在三角形ABF中，用余弦定理得到

，

故最大值為1.

故答案為：1.

點(diǎn)睛：本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是利用了拋物線的定義。一般和拋物線有關(guān)的小題，很多時(shí)可以應(yīng)用結(jié)論來(lái)處理的；平時(shí)練習(xí)時(shí)應(yīng)多注意拋物線的結(jié)論的總結(jié)和應(yīng)用。尤其和焦半徑聯(lián)系的題目，一般都和定義有關(guān)，實(shí)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)距和點(diǎn)線距的轉(zhuǎn)化。

【題型】填空題
【結(jié)束】
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【題目】設(shè) 的內(nèi)角 ， ， 所對(duì)的邊分別為 ， ， ，且 ， .

（1）當(dāng) 時(shí)，求 的值；

（2）當(dāng)的面積為 時(shí)，求的周長(zhǎng).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且．

（Ⅰ）求函數(shù)及的解析式；

（Ⅱ）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：函數(shù)在上是減函數(shù)；

（Ⅲ）若關(guān)于的方程有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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