Question

【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且 是1與an的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)Tn為數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和，證明： ≤Tn＜1（n∈N*）．

Answer 1

【答案】
（1）解： n=1時(shí)，a1=1

n≥2時(shí)，由 是1與an的等差中項(xiàng)，

∴ ，

又 ，

兩式相減得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0

∵an＞0

∴an﹣an﹣1=2

∴{an}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即an=2n﹣1．

（2）解：∵ = =

∴Tn=

= ．

∵n∈N+

∴Tn＜1

又∵Tn遞增．

∴ ，

綜上， 成立

【解析】（1）由等差中項(xiàng)，列出Sn與an的關(guān)系式，根據(jù) 求解出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．（2）數(shù)列{ }的結(jié)構(gòu)分析，采用裂項(xiàng)相消求數(shù)列前n項(xiàng)和Tn ， 結(jié)合數(shù)列單調(diào)性及簡(jiǎn)單的放縮法，求得范圍．
【考點(diǎn)精析】利用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．