Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=kex﹣x3+2 （k∈R）恰有三個(gè)極值點(diǎn)xl，x2，x3，且xl＜x2＜x3．

（I）求k的取值范圍：

（II）求f（x2）的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，整理得，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解；（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出的解析式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍即可.

試題解析：（Ⅰ）f'（x）=kex﹣3x2．

由題知方程kex﹣3x2=0恰有三個(gè)實(shí)數(shù)根，

整理得．…

令，則，

由g'（x）＞0解得0＜x＜2，由g'（x）＜0解得x＞2或x＜0，

∴g（x）在（0，2）上單調(diào)遞增，在（﹣∞，0），（2，+∞）上單調(diào)遞減．…

于是當(dāng)x=0時(shí)，g（x）取得極小值g（0）=0，

當(dāng)x=2時(shí)，g（x）取得極大值． …

且當(dāng)x→﹣∞時(shí)，g（x）→+∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，g（x）→0，

∴．…

（Ⅱ）由題意，f'（x）=kex﹣3x2=0的三個(gè)根為x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，

∴0＜x2＜2，且，…

∴，…

令μ（x）=﹣x3+3x2+2（0＜x＜2），

則μ'（x）=﹣3x2+6x=﹣3x（x﹣2），

當(dāng)0＜x＜2時(shí)，μ'（x）＞0，即μ（x）在（0，2）單調(diào)遞增，…

∴f（x2）∈（2，6）． …