Question

【題目】已知函數(shù)

（1）判斷的奇偶性并證明；

（2）判斷的單調(diào)性并說(shuō)明理由；

（3）若對(duì)任意恒成立,求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）奇函數(shù),證明見(jiàn)解析；（2）增函數(shù),理由見(jiàn)解析；（3）

【解析】

（1）求出的定義域,再計(jì)算與比較,即可判斷奇偶性；

（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)大于，即可的的單調(diào)性；

（3）利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性和將轉(zhuǎn)化為，再分情況討論即可得出的取值范圍．

解（1）判斷：是奇函數(shù).

證明：因?yàn)?/span>,定義域?yàn)?/span>,

所以是奇函數(shù)；

（2）判斷：在上是增函數(shù).

證明：因?yàn)?/span>

所以

所以在上是增函數(shù).

（3）若對(duì)任意恒成立,求的取值范圍．

因?yàn)?/span>所以,

由（1）知是奇函數(shù),則

又由（2）知在上是增函數(shù),則

,對(duì)任意恒成立,

①當(dāng) 時(shí),,符合題意；

②當(dāng) 時(shí),,

因?yàn)?/span>，無(wú)最小值,所以不合題意；

③當(dāng) 時(shí),,

則,解得,所以，符合題意；

綜上所述：.

故若對(duì)任意恒成立，的取值范圍為．