【題目】設各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，已知，且，對一切都成立．

（1）當時，證明數(shù)列是常數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；

（2）是否存在實數(shù)，使數(shù)列是等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

【答案】（1）證明詳見解析；；（2）存在，．

【解析】

（1）根據(jù)數(shù)列遞推關系可得，即可證明數(shù)列是常數(shù)列，再進一步求出數(shù)列的通項公式；

（2）先根據(jù)數(shù)列的前3項成等差數(shù)列求得，再證明一般性也成立.

解：（1）①當時，，

則，

即．

∵數(shù)列的各項均為正數(shù)，

∴．

∴，

化簡，得，①

∴當時，，②

②-①，得，

∵當時，，∴時上式也成立，

∴數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，即．

（2）由題意，令，得；令，得．

要使數(shù)列是等差數(shù)列，必須有，解得．

當時，，且．

當時，，

整理，得，即，

從而，

化簡，得，即．

綜上所述，可得，．

∴時，數(shù)列是等差數(shù)列．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線，與圓有且只有兩個公共點．

（1）求拋物線的方程；

（2）經(jīng)過的動直線與拋物線交于兩點，試問在直線上是否存在定點，使得直線的斜率之和為直線斜率的倍？若存在，求出定點；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的圾坐標方，且直線l與曲線C相交于A，B兩點.

（1）求曲線C的普通方程和l的直角坐標方程；

（2）若，點滿足，求此時r的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設數(shù)列的各項均為不等的正整數(shù)，其前項和為，我們稱滿足條件“對任意的，均有”的數(shù)列為“好”數(shù)列．

（1）試分別判斷數(shù)列，是否為“好”數(shù)列，其中，，，并給出證明；

（2）已知數(shù)列為“好”數(shù)列．

① 若，求數(shù)列的通項公式；

② 若，且對任意給定正整數(shù)（），有成等比數(shù)列，求證：．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】波羅尼斯（古希臘數(shù)學家，約公元前262-190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它將圓錐曲線的性質網(wǎng)羅殆盡幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內與兩定點距離的比為常數(shù)k（且）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有，，則當的面積最大時，AC邊上的高為_______________.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，圓經(jīng)過橢圓的左，右焦點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）直線與橢圓交于點，線段的中點為，的垂直平分線與軸和軸分別交于兩點，是否存在實數(shù)，使得的面積與（為原點）的面積相等？若存在，求出的值，若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知，設函數(shù)，．

（1）試討論的單調性；

（2）設函數(shù)，是否存在實數(shù)，使得存在兩個極值點，，且滿足？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由．

注：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（，）.

（1）若，且在內有且只有一個零點，求的值；

（2）若，且有三個不同零點，問是否存在實數(shù)使得這三個零點成等差數(shù)列？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知定點，點A在x軸的非正半軸上運動，點B在y軸上運動，滿足，A關于點B的對稱點為M，設點M的軌跡為曲線C.

（1）求C的方程；

（2）已知點，動直線與C相交于P，Q兩點，求過G，P，Q三點的圓在直線上截得的弦長的最小值.

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同步練習冊答案