【題目】在圓上任取一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸的垂線段,垂足為,點(diǎn)在直線上,且,當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí).
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程,并指出軌跡.
(2)直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸,l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,線段AB的中點(diǎn)為M.證明:直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.
【答案】(1),橢圓,(2)見(jiàn)解析.
【解析】
(1)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,由,可得,代入化簡(jiǎn)即可得結(jié)果;(2)設(shè)直線,代入可得,利用韋達(dá)定理以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得 ,從而可得結(jié)論.
(1)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,
因?yàn)?/span>在圓上,所以
設(shè),因?yàn)?/span>,且與軸垂直,
所以,代入
可得,化為,
即的方程為,軌跡表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓.
(2)設(shè)直線l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).
將y=kx+b代入+=1,得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.
故xM==,yM=k·xM+b=.
所以直線OM的斜率kOM==-,
所以kOM·k=-.
故直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn),,直線與直線相交于點(diǎn),直線與直線的斜率分別記為與,且.
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)過(guò)定點(diǎn)作直線與曲線交于兩點(diǎn), 的面積是否存在最大值?若存在,求出面積的最大值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)m, n是兩條不同的直線,是三個(gè)不同的平面, 給出下列四個(gè)命題:
①若m⊥α,n∥α,則m⊥n;; ②若α∥β, β∥r, m⊥α,則m⊥r;
③若m∥α,n∥α,則m∥n;; ④若α⊥r, β⊥r,則α∥β.
其中正確命題的序號(hào)是 ( )
A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)是雙曲線 的兩個(gè)焦點(diǎn),P是C上一點(diǎn),若,且的最小內(nèi)角為,則C的離心率為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,焦距為.斜率為k的直線l與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B.
(Ⅰ)求橢圓M的方程;
(Ⅱ)若,求 的最大值;
(Ⅲ)設(shè),直線PA與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為C,直線PB與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為D.若C,D和點(diǎn) 共線,求k.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)為圓的圓心, 是圓上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)在圓的半徑上,且有點(diǎn)和上的點(diǎn),滿(mǎn)足, .
(1)當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)的軌跡方程;
(2)若斜率為的直線與圓相切,直線與(1)中所求點(diǎn)的軌跡交于不同的兩點(diǎn), , 是坐標(biāo)原點(diǎn),且時(shí),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法正確的是( )
A.命題“x∈R,ex>0”的否定是“x∈R,ex>0”
B.命題“已知x,y∈R,若x+y≠3,則x≠2或y≠1”是真命題
C.“x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立”“(x2+2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立”
D.命題“若a=﹣1,則函數(shù)f(x)=ax2+2x﹣1只有一個(gè)零點(diǎn)”的逆命題為真命題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為,直線與拋物線交于兩點(diǎn),過(guò)這兩點(diǎn)分別作拋物線的切線,且這兩條切線相交于點(diǎn).
(1)若的坐標(biāo)為,求的值;
(2)設(shè)線段的中點(diǎn)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,過(guò)的直線與線段為直徑的圓相切,切點(diǎn)為,且直線與拋物線交于兩點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列函數(shù)中,在其定義域上既是偶函數(shù)又在(0,+∞)上單調(diào)遞減的是( )
A.y=x2
B.y=x+1
C.y=﹣lg|x|
D.y=﹣2x
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