Question

【題目】已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，對于都有成立，且，當(dāng)，，且時(shí)，都有.則給出下列命題：①；②為函數(shù)圖象的一條對稱軸；③函數(shù)在上為減函數(shù)；④方程在上有4個(gè)根；其中正確的命題個(gè)數(shù)為（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】D

【解析】

由可得，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可得，從而推出，可得函數(shù)是以6為周期的周期函數(shù)，從而可判斷①②，又根據(jù)當(dāng)，，且時(shí)，都有可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，結(jié)合函數(shù)值以及對稱性可判斷③④．

解：對于①，令，由得，

又函數(shù)是上的偶函數(shù)，

∴，

∴，

即函數(shù)是以6為周期的周期函數(shù)，

∴；

又，所以，從而，即①正確；

對于②，函數(shù)關(guān)于y軸對稱，周期為6，

∴函數(shù)圖象的一條對稱軸為，故②正確；

對于③，當(dāng)，，且時(shí)，都有，設(shè)，

則，故函數(shù)在上是增函數(shù)，

根據(jù)對稱性，易知函數(shù)在上是減函數(shù)，

根據(jù)周期性，函數(shù)在上為減函數(shù)，故③正確；

對于④，因?yàn)?/span>，又由其單調(diào)性及周期性可知

在，有且僅有，

即方程在上有4個(gè)根，故④正確；

故選：D．