【題目】已知, 為實數(shù),函數(shù),函數(shù)

(1) 當時,令,若恒成立,求實數(shù)的取值范圍;

(2) 當時,令,是否存在實數(shù),使得對于函數(shù)定義域中的任意實數(shù),均存在實數(shù),有成立?若存在,求出實數(shù)的取值集合;若不存在,請說明理由.

【答案】(1);(2)見解析

【解析】試題分析:1恒成立,等價于恒成立,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出的最大值即可得結(jié)果;(2) , , 分兩種情況討論,分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(需要兩次求導(dǎo)),利用單調(diào)性結(jié)合函數(shù)圖象,排除不合題意的值進而可得

試題解析:(1) 時, 上遞增,在 上遞減可得的最大值為,所以可得.

(2) 當a=-1時,假設(shè)存在實數(shù)b滿足條件,則G(x)=lnx≥1在x∈(0,1)∪(1,+∞)上恒成立.

1) 當x∈(01)時,G(x)lnx≥1可化為(bx+1-b)lnxx1≤0,

令H(x)=(bx+1-b)lnxx1,x∈(0,1),

問題轉(zhuǎn)化為:H(x)≤0對任意x∈(01)恒成立(*);

則H(1)=0H′(x)blnxb1,H′(1)0.

令Q(x)=blnxb1則Q′(x)=.

① b≤,因為b(x+1)-1≤ (x1)1<×210

故Q′(x)<0,所以函數(shù)y=Q(x)在x∈(0,1)時單調(diào)遞減,Q(x)>Q(1)0

即H′(x)>0,從而函數(shù)y=H(x)在x∈(0,1)時單調(diào)遞增,

故H(x)<H(1)=0,所以(*)成立滿足題意;

當b>,Q′(x),

因為b>所以1<1,記I=∩(0,1),則當x∈I時,x>0,

故Q′(x)>0,所以函數(shù)y=Q(x)在x∈I時單調(diào)遞增,Q(x)<Q(1)0

即H′(x)<0,從而函數(shù)y=H(x)在x∈I時單調(diào)遞減所以H(x)>H(1)=0,此時(*)不成立;

所以當x∈(0,1),G(x)lnx≥1恒成立時,b≤;

2) 當x∈(1,+∞)時G(x)lnx≥1可化為(bx+1-b)lnxx1≥0,

令H(x)=(bx+1-b)lnxx1,x∈(1,+∞),問題轉(zhuǎn)化為:

H(x)≥0對任意的x∈(1+∞)恒成立(**);則H(1)=0H′(x)blnxb1,H′(1)0.

令Q(x)=blnxb1,則Q′(x)=.

① b≥,b(x1)1>2b1≥×210,

故 Q′(x)>0,所以函數(shù)y=Q(x)在x∈(1,+∞)時單調(diào)遞增,Q(x)>Q(1)0,即H′(x)>0

從而函數(shù)y=H(x)在x∈(1,+∞)時單調(diào)遞增,所以H(x)>H(1)=0,此時(**)成立;

當b<

) 若 b≤0,必有Q′(x)<0,故函數(shù)y=Q(x)在x∈(1+∞)上單調(diào)遞減,

所以Q(x)<Q(1)0,即H′(x)<0,

從而函數(shù)y=H(x)在x∈(1,+∞)時單調(diào)遞減,所以H(x)<H(1)0,此時(**)不成立;

) 若0<b<,1>1所以x∈,Q′(x)<0,

故函數(shù)y=Q(x)在x∈上單調(diào)遞減Q(x)<Q(1)0,即H′(x)<0,

所以函數(shù)y=H(x)在x∈時單調(diào)遞減,所以H(x)<H(1)0此時(**)不成立;

所以當x∈(1,+∞),G(x)lnx≥1恒成立時b≥.(15分)

綜上所述,當x∈(0,1)∪(1,+∞),G(x)lnx≥1恒成立時b,從而實數(shù)b的取值集合為.

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(1)用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果;

(2)設(shè)M為事件“選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)”,求事件M發(fā)生的概率.

一年級

二年級

三年級

男同學(xué)

A

B

C

女同學(xué)

X

Y

Z

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